Читать онлайн «Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР Г. А. МИХАИЛОВ НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО Ответственный редактор Б. С. Елепов ИЗДАТЕЛЬСТВО сНАУКА» Сибирское отделение Новосибирск • 1974 УДК 518. 61 Книга посвящена развитию ряда проблем теории и приложений методов Монте-Карло для решения многомерных задач вычислительной математики и математической физики. В ней рассматривается вывод и обоснование ряда эффективных алгоритмов для моделирования случайных величин, решения интегральных уравнений 2-го рода и задач теории переноса излучения. Особое внимание уделено сложным задачам атмосферной оптики, имеющим большое прикладное значение. Книга предназначена для специалистов по прикладной математике и физике, для студентов и аспирантов, изучающих методы Монте-Карло. 20204—1591 042(01)—74 367~74 ©Издательство «Наука», 1974. Глава I МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для решения задач методом Монте-Карло необходимо получать на ЭВМ последовательность выборочных значений случайной величины с заданным распределением. Такой процесс принято называть моделированием случайной величины. Случайные величины обычно моделируют с помощью преобразований одного или нескольких независимых значений случайного числа а, равномерно распределенного в интервале (0,1). Независимые случайные числа, равномерно распределенные в (0,1), в дальнейшем обозначаются символом а с различными индексами: cti, 0&2, ай, а,-,... О моделировании этих величин будет рассказано в конце настоящей главы. § 1. 1. СТАНДАРТНЫЙ МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 1. Общий метод моделирования дискретной случайной величины \ основан на следующем очевидном соотношении: -' т -1 т \ k=0 k=0 где Рт = Р(Ъ = Хт)> /П = 0, 1, Стандартный алгоритм определения т для заданного значения а в (1. 1) реализуется по схеме на рис. 1. 2. Наиболее важные дискретные случайные величины являются целочисленными с вероятностями ph=P(%=k), связанными простыми рекуррентными формулами: ph+\ = —/V(£). Для таких слу- М=ОС у т = 0 ■ ' м=м-Рт 1 , М>0 т=т + 1 м^о £=*т Рис. 1. 3 М=а, Р=р0,т = 0 М=М-Р М<0 *А £=т \ М^О Р=Р-г(т),т=т + 1 Рис. 2. чайных величин значения pk и xk можно не записывать в памяти ЭВМ, а моделирование осуществлять по схеме на рис. 2. 3. Примеры. Для биномиального распределения с параметрами (р, п) имеем Pk r(k) = = Р(Ъ = к) = (£р*(1-р)»-*, Pk+l nl k\(n — k)\ — ~ (Л+1)! (д-Л-l) ' ы Г /v == \J f • • • f Tlj k + 1 l-p' для распределения Пуассона с параметром % Р* = 1ле~Х' rM=T+i' К — \) f 1 ) • • • } для геометрического распределения с параметром р — рк=р(1—р)\ r(k) = l—p, k=0, 1,... ; для гипергеометрического распределения — рк= cnfn-nx ^ max(0> n1+/-Az)<^