Читать онлайн «Введение в риманову геометрию»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Ю. Д. БУРАГО В. А. ЗАЛ ГАЛЛЕ ВЕ'ЕН Е В Н* ГЕ« ЕТ ББК 22. 151. 1 Б 91 УДК 514. 764 Б ура го Ю. Д. , Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб. : Наука, 1994. 318 с. Монография написана на современном уровне и восполняет ощутимый пробел в математической литературе по римановой геометрии в целом. Последняя находится в стадии активного развития. Рецензенты: кандидат физ. -мат. наук СВ. Буяло, доктор физ. -мат. наук Н. В. Иванов Редактор издательства М. В. Бураго, В. А. Залгаллер, 1994 ISBN 5-02-024606-9 © Российская академия наук, 1994 ОТ АВТОРОВ Цель этой книги дать доступное, но достаточно подробное изло- изложение основ римановой геометрии. Оно позволит читателю с общей математической подготовкой овладеть техникой этого раздела гео- геометрии и войти в круг основных идей „римановой геометрии в це- целом", главное содержание которой составляют результаты о влия- влиянии локальных свойств кривизны риманова многообразия на его строение в целом. Мы вдохновлялись в начальной части примером книги О'Нейла [126 ] о псевдоримановой геометрии, а в дальнейшей части — книгами Громола, Клингенберга, Майера [13] и Чигера, Эбина [68 ], которые представляются все же слишком трудными для начинающего. Основное внимание уделено метрическому аспекту римановой геометрии. Изложение ведется, как правило, с полными, детальными доказательствами. В ряде случаев они упрощены по сравнению с приводимыми в других книгах. Понятия вводятся бескоординатным путем, что соответствует современным традициям. Но приводятся и координатные выражения, полезные при вычислениях. Мы избегаем громоздких тензорных вычислений; знание читателем тензорной ал- алгебры не предполагается. Результаты и приемы, ставшие общеприня- общепринятыми, приводятся без ссылок на первоисточник, но некоторые тео- теоремы или равенства по традиции называются именами их авторов. Исторические замечания сведены к минимуму. Звездочкой помече- помечены пункты или абзацы, которые при первом чтении могут быть опу- опущены. Подготовленный читатель может пропустить гл. 1, в которой приводятся в удобной для дальнейшего форме сведения из линейной алгебры, теории гладких многообразий и накрывающих пространств. Читателю, впервые знакомящемуся с римановой геометрией, можно посоветовать сначала пропустить места, где аппарат теории превали- превалирует над геометрическими идеями. Это §9, пункты 12. 4 и 14. 9— 14. 12, быть может §15. Важный сам по себе §16 далее не использует- используется. Сведения из §17 использованы лишь в некоторых примерах гл. 6, которая опирается на материал гл. 2. Наконец, после гл. 3 главы 4 и 5 можно читать независимо. Основы римановой геометрии (гл. 2 и 3) не дают простора в выбо- Ре материала. Но в гл. 4—6 отдана дань интересам авторов, посколь- ку невозможно охватить в одной книге все разделы римановой гео- мегрии.