Читать онлайн «Обобщенные диффузионные процессы»

g H. К. ПоЬтенко ОБОБЩЁН ЫЕ ДИФФУЗИОННЫЕ ΠΡΙ Ε Ы АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Н. И. Портенко ОБОБЩЕННЫЕ ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1982 УДК 519. 21 Обобщенные диффузионные процессы / Портенко Н. И. — Киев : Наук, думка, 1982. —208 с. Математической моделью явления диффузии в нерегулярно движущейся среде может служить обобщенный диффузионный процесс, т. е. непрерывный марковский процесс, для которого колмогоровские локальные характеристики существуют в обобщенном смысле. В книге построены обобщенные диффузионные процессы в предположении, что матрица диффузии достаточно регулярна, а вектор переноса представляет собой интегрируемую в некоторой степени функцию, либо обобщенную функцию типа производной от меры. Для специалистов в области теории случайных процессов и ее приложений. Библиогр. : с, 205—207 (55 назв. ). Ответственный редактор М. И. Ядренко Рецензенты Б. Л. Гирко, В, М. Шуренков Редакция физико-математической литературы _ 1702050000-322 П * М221 (04)-82 156"82 © Издательство «Наукова думка», 1982 ПРЕДИСЛОВИЕ Своим названием диффузионные процессы обязаны тому обстоятельству, что они призваны служить математической моделью физического явления диффузии. В классе непрерывных марковских процессов диффузионные процессы выделяются требованием существования локальных характеристик движения — вектора переноса и матрицы диффузии. С точки зрения явления диффузии вектор переноса — это макроскопическая скорость движения среды, в которой рассматривается диффундирующая частица. Матрица диффузии характеризует случайные перемещения частицы, которые являются результатом столкновений ее с находящимися в тепловом движении молекулами среды. Одной из важнейших задач теории диффузионных процессов является разработка методов их построения по заданным матрице диффузии и вектору переноса. Этой задаче и посвящена настоящая книга. Можно выделить два основных метода построения диффузионных процессов по заданным локальным характеристикам: аналитический, связанный с дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка эллиптического и параболического типов, и вероятностный, основанный на построении траекторий диффузионных процессов как решений стохастических дифференциальных уравнений. Каждый из этих методов имеет свои преимущества. К концу 60-х годов благодаря работам советских и зарубежных математиков (А. В. Скорохода, Н. В. Крылова, X. Танака, Д. В. Струка, С. Р. С. Варадана и др. ) появилась возможность как аналитическим методом, так и методом стохастических дифференциальных уравнений строить диффузионные и близкие к ним квазидиффузионные процессы при весьма широких предположениях о локальных характеристиках: матрица диффузии непрерывна, положительно определена, ограничена; вектор переноса ограничен и измерим. Однако эти результаты еще недостаточны для описания явления диффузии. Можно представить диффундирующую частицу в жидкости, макроскопическое движение которой крайне нерегулярно (например, в жидкости могут быть завихрения).