Читать онлайн «Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике»

Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics Revised Edition JAN R. MAGNUS CentER, Tilburg University and HEINZ NEUDECKER Cesaro, Schagen JOHN WILEY & SONS Chichester • New York • Weinheim • Brisbane • Singapore • Toronto Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике Переработанное издание ЯН Р. Матричное дифференциальное исчис- исчисление с приложениями к статистике и эконометрике: Пер. с англ. / Под ред. С. А. Айвазяна. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 496 с. - ISBN 5-9221-0262-1. Монография содержит систематическое и полное изложение аппарата матрич- матричной алгебры и матричного дифференциального исчисления. Она уникальна по ор- органичности связи изложенных в ней результатов с актуальнейшими теоретическими и прикладными задачами эконометрики и многомерного статистического анализа. Книга адресована в первую очередь специалистам, работающим в области теории и приложений матричной алгебры, эконометрики и многомерного статистического анализа, преподающим и изучающим эти дисциплины в высших учебных заведени- заведениях. Она, бесспорно, займет свое место в ряду самых необходимых учебных пособий по продвинутым курсам этих дисциплин в программах российских вузов. Для преподавателей и специалистов по эконометрике, многомерному статистиче- статистическому анализу и прикладной статистике, а также студентов и аспирантов соответ- соответствующих специальностей. ISBN 5-9221-0262-1 ©John Wiley k, Sons Ltd, 1988, 1999 © ФИЗМАТЛИТ, 2002 Оглавление Предисловие научного редактора русского перевода 13 Предисловие 15 Часть первая — Матрицы 1 Основные свойства векторов и матриц 1 Введение 21 2 Множества 21 3 Матрицы: сложение и умножение 23 4 Транспонирование матрицы 24 5 Квадратные матрицы 25 6 Линейные формы и квадратичные формы 26 7 Ранг матрицы 27 8 Обратная матрица 29 9 Определитель 29 10 След 30 11 Блочные матрицы 31 12 Комплексные матрицы 33 13 Собственные значения и собственные векторы 34 14 Теорема Шура о разложении 38 15 Приведение к жордановой нормальной форме 40 16 Сингулярное разложение 41 17 Дальнейшие результаты о собственных значениях 42 18 Положительно (неотрицательно) определенные матрицы ... . 45 19 Три дополнительных результата для положительно определен- определенных матриц 47 20 Полезный результат 49 Различные упражнения 50 Библиографические замечания 52 2 Кронекеровские произведения, векторизация и обращение 1 Введение 53 2 Кронекеровское произведение 53 3 Собственные значения кронекеровского произведения 55 4 Оператор векторизации 56 Оглавление 5 Обращение Мура-Пенроуза (МП-обращение) 59 6 Существование и единственность МП-обратной матрицы ... . 59 7 Некоторые свойства МП-обращения 60 8 Дальнейшие свойства 62 9 Решение систем линейных уравнений 64 Различные упражнения 67 Библиографические замечания 68 3 Различные результаты матричной алгебры 1 Введение 69 2 Присоединенная матрица 69 3 Доказательство теоремы 1 71 4 Два результата об окаймленных определителях 73 5 Матричное уравнение АХ = 0 74 6 Произведение Адамара 75 7 Коммутационная матрица Ктп 77 8 Дуплицирующая матрица Dn 80 9 Связь между Dn+i и Dn, I 82 10 Связь между Dn+1 и Dn, II 83 11 Условия положительности (отрицательности) квадратичной фор- формы при линейных ограничениях 85 12 Необходимые и достаточные условия для г (А : В) = г (А) + г (В) 88 13 Окаймленная матрица Грама 90 14 Уравнения ХгА + Х2В' = Gu ХХВ = G2 93 Различные упражнения 96 Библиографические замечания 96 Часть вторая — Дифференциалы: теория 4 Необходимые математические сведения 1 Введение 98 2 Внутренние и предельные точки 98 3 Открытые и замкнутые множества 100 4 Теорема Больцано-Вейерштрасса 103 5 Функции 104 6 Предел функции 105 7 Непрерывные функции и компактность 106 8 Выпуклые множества 107 9 Выпуклые и вогнутые функции 110 Библиографические замечания 113 5 Дифференциалы и дифференцируемость 1 Введение 114 2 Непрерывность 115 3 Дифференцируемость и линейное приближение 117 4 Дифференциал векторной функции 119 5 Единственность дифференциала 121 Оглавление 6 Непрерывность дифференцируемых функций 122 7 Частные производные 123 8 Первая теорема об идентификации 125 9 Существование дифференциала, I 126 10 Существование дифференциала, II 127 11 Непрерывная дифференцируемость 130 12 Цепное правило 130 13 Инвариантность дифференциала по Коши 132 14 Теорема о среднем значении 133 15 Матричные функции 134 16 Замечания по поводу обозначений 137 Различные упражнения 138 Библиографические замечания 139 Второй дифференциал 1 Введение 140 2 Частные производные второго порядка 140 3 Матрица Гессе 141 4 Дважды дифференцируемость и аппроксимация, I 142 5 Определение дважды дифференцируемости 143 6 Второй дифференциал 145 7 Столбцовая симметрия матрицы Гессе 147 8 Вторая теорема об идентификации 149 9 Дважды дифференцируемость и аппроксимация, II 150 10 Цепное правило для матриц Гессе 153 11 Аналог для вторых дифференциалов 154 12 Теорема Тейлора для вещественных функций 156 13 Дифференциалы высших порядков 157 14 Матричные функции 157 Библиографические замечания 159 Статическая оптимизация 1 Введение 160 2 Безусловная оптимизация 161 3 Существование абсолютного экстремума 162 4 Необходимые условия локального минимума 164 5 Достаточные условия локального минимума.