Читать онлайн «Стохастические уравнения для сложных систем»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА А. В. СКОРОХОД СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ АЛЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА А. В. СКОРОХОД СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ та МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1983 22. 17 С 44 УДК 519,21 Скороход А. В. Стохастические уравнения для сложных систем. — М. 1 Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 192 с. В книге исследуются стохастические системы, описываемые марковскими процессами в сложных фазовых пространствах: пространствах неограниченно возрастающей размерности или бесконечной размерности, пространствах, не обладающих локальной евклидовостью. Основной метод исследования — системы бесконечного числа линейных стохастических уравнений специального вида. В первой главе построены стохастические дифференциальные уравнения для квазидиффузионных процессов в локально компактных пространствах, изучены условия существования и единственности, а также существования слабого решения и слабой единственности решений указанных стохастических уравнений. Рассмотрены диффузионные процессы на многообразиях с краем, в фазовых пространствах с ветвлением или со стыком компонент различной размерности. Во второй главе рассматривается асимптотическое поведение системы случайно-взаимодействующих частиц при неограниченном-воз- растании их числа. Установлено существование предельного распределения для нормированного числа частиц в областях, асимптотическая независимость движений отдельных частиц, получены предельные уравнения движения для одной частицы, а также найдены условия, при которых эти уравнения превращаются в стохастические диффузионные уравнения, 1502060000-059 ^А оо ^ тх —— — 60-82 © Издательство «Наука» 053(02)-83 Главная редакция * - Фивико-математи ческой литературы, 1983 ПРЕДИСЛОВИЕ Понятию сложной стохастической системы вряд ли можно (да и не стоит) давать точное математическое определение. Однако есть системы, для которых их сложность становится самоочевидной, — это системы с бесконечномерным фазовым пространством. Другой вид сложности связан с топологической структурой фазового пространства, он проявляется и в конечномерном случае. К сложному фазовому пространству можно отнести такие, которые состоят из нескольких компонент различной размерности. Сложные стохастические системы, рассматриваемые в книге, — это как раз системы с фазовыми пространствами указанных типов. Хотя общая теория случайных процессов (в том числе и марковских) позволяет исследовать процессы в довольно общих фазовых пространствах, излагаемый в книге подход является новым и, по моему мнению, заслуживает внимания. Во-первых, он позволяет строить процессы в довольно общих фазовых пространствах с помощью стохастических дифференциальных уравнений (при этом используется новый метод исследования бесконечных линейных систем таких уравнений). Во-вторых, выясняется, что при определенных условиях все большее усложнение системы (рост числа взаимодействующих в системе частиц) приводит в пределе к существенному ее упрощению: позволяет вместо системы в фазовом пространстве.