Читать онлайн «Топологические алгебры Буля»

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОЛУПОЛЯ М. я. Антонове кий В. Г. БОЛТЯНСКИЙ Т. А. САРЫМСАКОВ ОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ БУЛЯ Т А Ш К Ь, Н Т УЗБЕКИСТОН ССР ФАНЛАР АКАДЕМИЯСИ В. И. РОМАНОВСКИЙ НОМИДАГИ МАТЕМАТИКА ИНСТИТУТИ В. И. ЛЕНИН НОМИДАГИ ТОШКЕНТ ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ ТОПОЛОГЙК ЯРИМ МАЙДОНЛАР М. Я. АНТОНОВСКИЙ, В. Г. БОЛТЯНСКИЙ, Т. А. САРИМСОК. ОВ БУЛНИНГ ТОПОЛОГЙК АЛГЕБРАЛАРИ УЗБЕКИСТОН ССР ФАНЛАР АКАДЕМИЯСИ НАШРИЕТИ ТОШКЕНТ-ШЗ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. В. И. РОМАНОВСКОГО АН УзССР ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ЛЕНИНА ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОЛУПОЛЯ М. Я. АНТОНОВСКИЙ, В. Г. БОЛТЯНСКИЙ, Т. А. САРЫМСАКОВ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ БУЛЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК УЗБЕКСКОЙ ССР ТАШКЕНТ-1963 517 A72 В работе обобщены и развиты концепции, которые были изложены в публикациях, вышедших в I960 и 1961 гг. в трудах Ташкентского государственного университета им. В. И. Ленина под названиями „Топологические полуполя* и „Метрические пространства над полу полями". В основу предлагаемых в настоящей монографии исследований, относящихся к топологическим полупо- лям, положены топологические алгебры Буля. Определение полуполя, введенное в указанных выше работах, совпадает с полу полем 1-го рода в принятом здесь смысле. Общий замысел авторов, состоящий в приложении понятия полуполя к вопросам теоретико-множественной топологии, функционального анализа, теории меры, эргодической теории и т. д. , сохраняется и здесь. Книга предназначена для специалистов-математиков. Ответственный редактор член-корр. акад. АН УзССР С. X. СИРАЖДИНОВ Понятие полуполя, введенное нами в работах [1] и [2], нашло некоторые применения в топологии и функциональном анализе. Вместе с тем оно оказалось недостаточным для приложения к теории меры и теории вероятностей. Для этого понятие полуполя нуждается в дальнейшем обобщении. Нашей целью и является построение полу- полей, значительно обобщающих ранее введенное понятие и удобных для теории меры и теории вероятностей. Мы начинаем с рассмотрения алгебр Буля, затем, во второй главе вводим аксиоматику полуполя, а в третьей строим универсальное полуполе. Заключительные главы (IV и V) содержат ряд основных фактов теории полуполей. Основные отправные позиции содержатся в главах I и III. Вместе с тем большинство построений, содержащихся в этих главах, общеизвестно. Новым (и на наш взгляд наиболее существенным) является введение топологии в алгебре Буля v (гл- О и вве" дение топологии в пространстве функций на предельном пространстве Х(у) (гл. III). Имеется много исследований, например [4—6], в которых вводится та или иная топология в алгебре Буля. Наиболее известны интервальная топология и о-топология. Исследуемая нами топология (гл. I) может быть введена не во всякой алгебре Буля, но свойства этой топологии весьма удобны для ряда приложений. Именно введение этой топологии и составляет основную цель главы I. Топологические алгебры Буля играют решающую роль в построении универсальных полуполей (III гл. ). Классическая теорема Стоуна сопоставляет каждой алгебре Буля v ее предельное пространство Х(у).