Читать онлайн «Принцип максимума в общей задаче оптимального управления»

A. A. МИЛЮТИН ПРИНЦИП МАКСИМУМА В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Предисловие В книге принцип максимума распространяется на общую задачу оптимального управления. Общей мы называем задачу, в которой функции, задающие локальные (поточечные) ограничения, принадлежат некоторому классу (например, выпукло-дифференцируемы по своим аргументам), но об их совокупности не делается никаких предположений кроме того, что их конечное число. Проблема переноса принципа максимума на этот класс задач была решена в совместных работах А. Я. Дубовицкого и автора. Однако это было решение «в принципе». Переменные, в которых был сформулирован принцип максимума, были таковы, что применение принципа максимума было чрезвычайно затруднено, если вообще возможно. Настоящая книга является результатом стремления автора придать принципу максимума по возможности рабочую форму. Реализация этой программы потребовала переработки всего материала. Существенные изменения претерпели как формулировки, так и доказательства. Мы подробно сравниваем старую и новую формы принципа максимума и выясняем их связь между собой. Материал книги расположен так, чтобы максимально облегчить применение принципа максимума. В первой главе содержатся все формулировки и подробно анализируется связь между различными их блоками. Вторая глава посвящена рассмотрению примеров. Две последние главы занимают доказательства. Я надеюсь, что книга не только позволит расширить класс решаемых прикладных и модельных задач, но и сыграет некоторую роль в теории оптимизации. Книга опубликована при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 00-01-14120 и № 00-15-96109) и организационной поддержке ЦЭМИ АН РФ. Я глубоко благодарен А. В. Дмитруку и Н. П. Осмоловскому, которые взяли на себя труд по подготовке книги к печати. Без их участия эта работа вряд ли была бы выполнена. Глава 1 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА — ПРИНЦИПЫ МАКСИМУМА I И II В данной книге рассматриваются два варианта общей (нерегулярной) задачи оптимального управления — Задача I и Задача II. Для каждой из них получено необходимое условие в форме принципа максимума — принцип максимума I (ПМ I) и принцип максимума II (ПМ II). Задача I отличается от задачи II характером зависимости от времени функций, входящих в задачу. Для задачи I она «всего лишь» непрерывна, а для задачи II она «такая же», как и зависимость от фазовых переменных. Из этого отличия вытекает и отличие в вариациях, пригодных для исследования. Задача I исследуется с помощью локальных вариаций и вариаций скольжения. Задача II допускает также исследование с помощью f-вариаций. Естественно, что ПМ II оказывается более тонким условием нежели ПМ I. Впервые задачи I и II (они назывались иногда задачами В и А соответственно) были сформулированы А. Я. Дубовицким и А. А. Милютиным в [1]. Там же авторы привели формулировки полученных ими необходимых условий — принципа максимума задачи А и принципа максимума задачи В. Принцип максимума задачи В и ПМ I — довольно близкие условия. Принцип максимума задачи А и ПМ II — совершенно разные по форме условия.