Читать онлайн «Численные методы решения задач строительной механики. Справочное пособие»

В. П. Ильин В. В. Карпов А. М. Масленников ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ Под общей редакцией доктора технических наук, профессора В. П. Н. Леонтьев Редактор издательства кандидат технических наук В. Г. Приближение функций. Методы приближенного дифференцирования и интегрирования 11 1. 1. Приближение функций. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона 11 1. 1. 1. Общие понятия о приближении функций. Аппроксимирующие функции 11 1. 1. 2. Интерполяционный полином Лагранжа 12 1. 1. 3. Интерполяционный полином Ньютона 14 1. 2. Сплайн-интерполяция 15 1. 2. 1. Полиномиальный интерполяционный сплайн 15 1. 2. 2. Применение сплайнов при решении задач методом конечных элементов 16 1. 3. Приближенное дифференцирование и интегрирование функций 19 1. 3. 1. Приближенное дифференцирование функций 19 1. 3. 2. Приближенное интегрирование функций с помощью формулы Симпсона 19 1. 4. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Оценка погрешности решения 20 1. 4. 1. Метод наименьших квадратов • 20 1. 4. 2. Погрешности численного решения задач строительной механики 21 2. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений 24 2. 1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 24 2. 1. 1. Матричная форма системы линейных уравнений 24 2. 1. 2. Метод Гаусса 25 2. 1. 3. Вычисление определителей и обращение матриц 30 2. 2. Решение систем линейных уравнений методом прогонки 31 2. 2. 1. Метод прогонки для систем уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов 31 2. 2. 2. Метод прогонки для систем уравнений с пятидиагональной матрицей коэффициентов 34 2. 3. Обусловленность матриц коэффициентов систем линейных уравнений 35 2. 3. 1. Характеристика обусловленности матриц 35 2. 3. 2. Способы улучшения обусловленности матриц 38 2. 4. Методы вычисления собственных значений и собственных векторов матриц 41 2. 4. 1. Собственные значения и собственные векторы матриц 41 2. 4. 2. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы 43 2. 4. 3. Определение наибольшего и наименьшего собственных значений симметричной матрицы 46 2. 5. Методы решения нелинейных алгебраических, трансцендентных уравнений и их систем 47 2. 5. 1. Метод простой итерации 47 2. 5. 2. Метод Ньютона — Рафсона (метод касательных) 48 2. 5. 3. Применение метода простой итерации к решению систем нелиней- нелинейных уравнений 49 2. 5. 4. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона 51 2. 5. 5. Решение систем нелинейных уравнений методом наискорейшего спуска 53 3. Матричные методы решения задач строительной механики стержневых систем 57 3. 1. Метод сил 57 3. 1. 1. Применение метода сил к расчету плоских стержневых систем 57 3. 1. 2. Применение метода сил к расчету пространственных стержневых систем 62 3. 2. Метод перемещений 65 3. 2. 1. Основы метода перемещений 65 3. 2. 2.