Читать онлайн «Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики»

П. Маслов, М. В. Федорюк КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В книге рассматривается многомерное квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. В первой части излагается квантование поля скоростей для гамильтонианов общего вида. Во второй части для релятивистских и нерелятивистских уравнений квантовой механики рассматриваются в квазиклассическом приближении задача Коши для начальных данных, удовлетворяющих принципу соответствия, задача о рассеянии, асимптотика спектральных серий. Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных работников в области теоретической и математической физики. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 4 Введение 5 Часть I Квантование поля скоростей (канонический оператор) § 1. Метод стационарной фазы. Преобразование Лежандра 36 § 2. Псевд о дифференциальные операторы 56 § 3. Уравнение Гамильтона — Якоби. Система Гамильтона 76 § 4. Лагранжевы многообразия и канонические преобразования 106 § 5. Преобразование Фурье А. -псевдодифференциального оператора 123 (переход в/7-представление) § 6. Предканонический оператор (квантование поля скоростей в малом) 130 § 7. Индекс кривой на лагранжевом многообразии 146 § 8. Канонический оператор (квантование поля скоростей в целом) 159 § 9. Квантование поля скоростей в целом. Высшие приближения 176 Часть II Квазиклассическое приближение для нерелятивистских и релятивистских уравнений квантовой механики § 10. Задача Коши с быстро осциллирующими начальными данными для 181 скалярных гамильтонианов § 11. Матричные гамильтонианы 201 § 12. Квазиклассическая асимптотика задачи Коши для уравнения 232 Шредингера § 13. Асимптотические серии собственных значений (правило квантования 258 Бора) § 14. Квазиклассические приближения для релятивистского уравнения 281 Дирака Литература 292 ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящей книге излагается один из асимптотических методов линейной математической физики — метод кано- канонического оператора. Эта книга является продолжением и развитием работ [38], [39], [43]. Основные идеи настоящей книги изложены во введе- введении. Книга состоит из двух частей. В первой части по- построена теория канонического оператора, во второй части книги приведен ряд приложений канонического оператора к конкретным задачам математической физики. Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность С. М. Цидилину, сделавшему ряд ценных замечаний. Авторы ВВЕДЕНИЕ 1. Различные задачи математической и теоретической физики приводят к дифференциальным уравнениям с част- частными производными, которые содержат малый параметр при старших производных. Для построения приближенных решений таких уравнений издавна применяются асимпто- асимптотические методы. В последние десятилетия асимптотические методы ли- линейной математической физики переживают период расцве- расцвета. Сфера действия этих методов расширяется: они не только продолжают применяться в традиционных разде- разделах математической физики, но и оказывают существенное влияние на развитие общей теории дифференциальных уравнений с частными производными.