Читать онлайн «Слабая сходимость мер»

В. И. Богачев СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ МЕР Москва ♦ Ижевск 2016 УДК 519. 21 ББК 22. 171+22. 162 Б73 # Издание осуществлено при финансовой поддержке Россий- И ского фонда фундаментальных исследований по проекту №16-11-00087-д. Издание РФФИ не подлежит продаже Богачев В. И. Б73 Слабая сходимость мер. — М. -Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2016. — 396 с. ISBN 978-5-4344-0369-6 Подробно и систематически обсуждаются различные виды сходимости мер, возникающие в теории меры, теории вероятностей, функциональном анализе, дифференциальных уравнениях с частными производными, математической физике и других теоретических и прикладных областях. Особое внимание уделено слабой сходимости мер. Основная часть книги рассчитана на весьма широкий круг читателей, соприкасающихся в своей деятельности со сходимостью по распределению случайных величин и слабой сходимостью мер. Книга содержит необходимый для ее понимания минимум сведений из теории меры и теории функций. Обширный дополнительный материал справочного характера для специалистов включает важнейшие результаты современных исследований. Приведено более 100 задач (от учебных упражнений для начинающих до более трудных задач для квалифицированного читателя) с решениями или указаниями. Даны историко-библиографические комментарии. Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников физико-математических специальностей. Библ. 647. ББК 22. 171+22. 162 УДК 519. 21 ISBN 978-5-4344-0369-6 © В. И. Богачев, 2016 © Ижевский институт компьютерных исследований, 2016 Оглавление Предисловие 5 Глава 1. Слабая сходимость мер на JRd 9 1. 1. Меры и интегралы 9 1. 2. Функции ограниченной вариации 22 1. 3. Сведения из функционального анализа 27 1. 4. Слабая сходимость мер на прямой и на Έ* 36 1. 5. Слабая сходимость неотрицательных мер 48 1. 6. Связь с преобразованием Фурье 50 1. 7. Дополнения и задачи 61 Сходимость функций распределения (61). Безгранично делимые и устойчивые распределения (64). Задачи (65). Глава 2. Сходимость мер на метрических пространствах 69 2. 1. Меры на метрических пространствах 69 2. 2. Определение и свойства слабой сходимости 78 2. 3. Теорема Прохорова и слабая компактность 88 2. 4. Связь со сходимостью на множествах 94 2. 5. Случай гильбертова пространства 102 2. 6. Представление Скорохода 112 2. 7. Дополнения и задачи 117 Равномерная интегрируемость (117). Слабая сходимость сужений и полных вариаций (118). Сходимость произведений (120). Слабая сходимость мер на банаховых пространствах (121). Слабая сходимость в С и Lp (124). Пространство Скорохода (131). Гауссовские меры (132). Принцип инвариантности и броуновский мост (138). Продолжение отображений (140). Задачи (141). 4 Оглавление Глава 3. Метрики на пространствах мер 149 3. 1. Слабая топология и метрика Прохорова 149 3. 2. Метрики Канторовича и Форте - Мурье 160 3. 3. Метрики Канторовича порядка ρ 172 3. 4. Метрические тройки Громова 178 3. 5. Дополнения и задачи 183 Метрики Золотарева (183). Нижние оценки нормы Канторовича в классах Никольского - Бесова (184).