Читать онлайн «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями»

КЛАСС И КИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ МАТЕМАТИКА МЕХАНИ КА ФИЗИКА АСТРОНОМИЯ АНРИ ПУАНКАРЕ О КРИВЫХ, ОПРЕДЕ ЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО ЖЛеонтовиг и А. Мийер . ПОД РЕДАКЦИЕЙ и С ПРИМЕЧАНИЯМИ t Л. Л. ЛпЭронова И С ДОПОЛНЕНИЯМИ Ж. Леонтових, Л. "Майср ^. Степанова,, "ИЖетрооского uJO. fPootcaHCRQU о: о г и з «ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКО И к - ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА ЛЕНИНГРАД 194Т ПРЕДИСЛОВИЕ Классический период развития математического ана- лиза— XVIII век — оставил в наследство математике так называемые элементарные методы интегрирования диффе- ренциальных уравнений; тогда же был в основном выде- лен тот класс уравнений, в котором нахождение общего решения сводится к квадратурам или алгебраическим операциям. Первая половина XIX в. проходит под знаком критики этого наследства в двух направлениях. С одной стороны, Коши ставит и для достаточно широкого класса уравнений разрешает задачу о существовании решения. С другой стороны, Лиувилль доказывает невозможность нахождения в квадратурах общего решения специального уравнения Риккатн, за исключением известных случаев, когда это решение выражается в виде комбинации пока- зательных и рациональных функций. Это открытие зна- чительно обесценило отыскание новых случаев элемен- тарной интегрируемости. Теоремы существования открыли теоретическую дорогу для приближённых и численных методов, которые, впро- чем, начали развиваться, независимо от всякой теории, ещё в предыдущий период, под влиянием настоятельных требований прикладной математики, в особенности небес- б ПРЕДИСЛОВИЕ ной механики. Однако приближённые методы не могли удовлетворить теоретическую мысль математика, а также оказались недостаточными и для натуралиста, применяю- щего математические методы. Основное неудобство здесь состоит в том, что приближённое решение изобра- жает с достаточной точностью только одно частное решение в заданном интервале изменения независимого переменного. Чтобы остановиться на примере, укажем, что прибли- жённое интегрирование уравнений небесной механики даёт прекрасные результаты при вычислении положений тел солнечной системы на любой, даже весьма большой, в смысле исторической хронологии, конечный промежу- ток будущего времени; но эти методы отказываются служить, когда дело идёг о проблемах космогонии, где надо знать характер решения в течение неопределённо большого, т. е. практически бесконечно большого про- межутка времени. Новые, так называгмые «качественные методы иссле- дования дифференциальных уравнений» появились в по- следней четверти XIX в. и связаны с именем Пуанкаре и Ляпунова. Ляпунов поставил и в очень широком классе случаев разрешил с полной строгостью одну частную задачу качественной теории — задачу устойчивости дви- жения. Заслугой Пуанкаре является постановка общей задачи качественного исследования дифференциального уравнения. Эту задачу можно сформулировать так: не интегрируя заданного дифференциального уравнения, по свойствам правой части его дать возможно более полную картину расположения кривых, удовлетворяющих, этому уравнению, во всей области их существования.