Читать онлайн «Алгебраические группы и поля классов»

Ж. СЕРР АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ КЛАССОВ Перевод с французского И. В. ДОДГАЧЕВА Под редакцией С. П. ДЕМУШКИНА ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" МОСКВА 1 « О 8 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Курс лекций, который читался Серром в Коллеж де Франс, посвящен изложению работ Розенлихта об обобщенных яко- биевых многообразиях, Ленга об абелевых расширениях по- полей алгебраических функций, а также Барсотти, Розенлихта и Серра о расширениях и когомологиях алгебраических групп. Для русского издания автором любезно были присланы некоторые замечания и дополнения. Они внесены в соответ- соответствующие места. с. демушкин Декабрь 1967 г, ГЛАВА СВОДКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Этот курс посвящен изложению недавних работ Розен- лихта и Ленга. Начнем с краткого изложения результатов Розенлихта. 1. Обобщенные якобиевы многообразия Пусть X — проективная неприводимая алгебраическая кри- кривая без особенностей, /: X —>• G — рациональное отображе- отображение X в алгебраическую коммутативную группу С?. Множе- Множество 5 точек кривой X, в которых / нерегулярно, есть конечное множество. Пусть D—дивизор, равный нулю на S (т. е. дивизор вида D=^iniPi, где P^S). Положим 2,6 В случае когда О — абелево многообразие, S= 0 и f(D)=0 при D, равном дивизору (ф) рациональной функ- функции ф на Х\ в этом случае f(D) зависит лишь от класса дивизора D относительно линейной эквивалентности. В общем случае приходится изменить понятие класса (так же как и в теории чисел для изучения разветвленных накрытий) следующим образом. Назовем модулем с носителем S функцию, ставящую в соответствие каждой точке Р, ? 5 целое число ttt > 0. Пусть m — модуль с носителем S, а ср — рациональная функ- функция. Говорят, что ф „сравнима с 1 по модулю га°, и пишут ср=1 (mod га), если vt{\ —ф)>-«г для всех /, где vt обо- обозначает нормирование, определенное точкой Р,. Поскольку nt > 0, такая функция ср регулярна в точках Р{ и принимает в них значение 1; таким образом, дивизор (ср) такой функ- функции равен нулю на S. 8 Г лав а I Теорема 1. Для всякого рационального отображения f:X—>G, регулярного вне S, существует модуль т с но- носителем S, такой, что /(D) = 0 для любого дивизора ?> —(ф), где cp=l(modm). (Доказательство см. в гл. III, § 2. ) Обратно, по заданному модулю m можно восстановить если не саму группу G, то по крайней мере „универсальную" группу для группы О. Теорема 2. Для всякого модуля т существуют ал- алгебраическая коммутативная группа Jm и рациональное отображение fm:X-> Jm, такие, что выполняется сле- следующее свойство: для всякого рационального отображения / : X —> О, удовлетворяющего условиям теоремы 1 относительно мо- модуля т, существует (аффинный) рациональный гомомор- гомоморфизм 0 : Ут -> О, определяемый единственным образом, та- такой, что /=9°/т. (Доказательство см. в гл. V, п. 9. ) Можно уточнить структуру Ут точно так же, как в слу- случае обыкновенных якобиевых многообразий (получаемых, если положить т = 0). Для этого рассмотрим группу Ст классов дивизоров, равных нулю на S, по модулю дивизоров вида ?>= (ф), где ф= 1 (mod m); пусть С?„ - подгруппа группы Ст классов дивизоров степени 0.