Читать онлайн «Неподвижные точки отображений метрических пространств»

АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК ОРДЕНА ЛЕНИНА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ЗАПИСКИ НАУЧНЫХ СЕМИНАРОВ ЛОМИ, ТОМ бб ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТОПОЛОГИИ. II Сборник работ под редакцией А. А. ИВАНОВА S ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Ленинград · 1976 НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ОТОБРАЖЕНИЙ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ А. А. Иванов Каждому, кто собирается изложить некоторую, теорию, приходится преодолевать две противоположные тенденции - обобщение и специализацию, приводящие в конечном счете к одному и тому же результату - непомерному увеличению объема· Теория неподвижных точек отображений метрических пространств не является, в этом смысле, исключением, поэтому необходимо заранее условиться, что мы будем понимать под этой теорией. Условимся считать, что та или иная теорема относится к теории неподвижных точек отображений метрических пространств, если она имеет дело с неподвижными точками, а ее условия можно сформулировать в метрических терминах без введения дополнительных структур (соглашение не столь тривиальное, как это может показаться)· Это, конечно, сильно сужает рассматриваемый здесь круг вопросов - многочисленные и важные результаты, относящиеся, например, к пространствам с линейной структурой, остаются в стороне· Обращаясь к истокам теории, следует иметь в виду, что многие относящиеся к ней утверждения были доказаны практически до появления самой теории· Эти утверждения составляли просто части доказательств существования решений различных задач - особенность, сохранившаяся и до настоящего времени· Подчас трудно выяснить, когда, в действительности, была доказана та или иная теорема. Тем не менее, начало общей теории неподвижных точек отображений метрических пространств часто связывают с классическим принципом Банаха сжимающих отображений (1922 год), хотя сам этот принцип применялся раньше· Банах сформулировал принцип,как теорему существования и единственности неподвижной точки сжимающего отображения полного метрического (в оригинале, полного линейного нормированного) пространства в себя· Это была первая теорема непрерывно увеличивающегося цикла теорем существования (и единственности) неподвижных точек при метрических условиях, относящихся, как к самим отображениям, так и к отображаемым пространствам· Эти теоремы, являющиеся более или менее далекими обобщениями теоремы Банаха, конечно, не исчерпывают рассматриваемой здесь теории· Большое место занимает в ней изучение зависимости неподвижных точек от отображений, приближение к неподвижных точкам и многие другие проблемы, описание которых требует 5 дополнительной информации· Количество и разнообразие таких проблем постоянно увеличивается· В предлагаемом здесь наброске теории неподвижных точек отображений метрических пространств приведены не только окончательные 9 но и наиболее интересные промежуточные результаты· Некоторые утверждения, принадлежащие автору, публикуются впервые· Остается только заметить, что имеющиеся в тексте библиографические ссылки не должны рассматриваться, как ссылки на первоисточник того или иного результата· Выяснение приоритета - тяжелая и неблагодарная задача вообще, а для рассматриваемой здесь теории, в особенности· § I· Теорема Банаха и ее обращения *· Пусть J : Х-*Х - произвольное отображение множества X в себя· Последовательность (T"it)^« 0 .