Читать онлайн «Сборник задач по высшей математике, том 2»

Н. М. ГЮНТЕР и Р. О. КУЗЬМИН СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ТОМ II ПОД РЕДАКЦИЕЙ С. И. АМОСОВА и Г. Ю. ДЖАНЕЛИДЗЕ ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для высших технических учебных заведений •ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1958 И-5-2 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Отдел VII ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ § 1. Основные формулы и приемы интегрирования 7 § 2. Интегрирование рациональных функций 10 § 3. Интегрирование иррациональных функций 14 § 4. Интегрирование трансцендентных функций 21 § 5. Разные задачи 25 Отдел VIII ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. Определенный интеграл 29 2. Вычисление площадей (квадратура кривых) 32 3. Вычисление длин дуг кривых 36 4. Вычисление объемов 38 5. Вычисление площадей поверхностей вращения 40 Отдел IX КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ЛИНИЯМ И ПОВЕРХНОСТЯМ § 1. Введение 42 § 2. Вычисление площадей 44 § 3. Вычисление объемов 47 § 4. Вычисление поверхностей 49 § 5. Криволинейные интегралы 51 § 6. Некоторые приложения двойных интегралов в механике к сопротивлении материалов 54 § 7. Интегралы по поверхности, координаты центров тяжести и моменты инерции поверхностей 57 8. Тройной интеграл 59 9. Вычисление объемов 59 10. Координаты центров тяжести и моменты инерции тел 62 11. Интегралы- теории поля и теории потенциала 64 12. Многократные интегралы 74 Отдел X ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Составление дифференциальных уравнений по данным их интегралам 77 § 2. Нахождение функций по их полному дифференциалу 78 1* ОГЛАВЛЕНИЕ 3. Интегрирование полных дифференциалов 80 4. Уравнения с отделяющимися переменными 81 5. Уравнения однородные и приводящиеся к ним 84 6. Уравнения линейные и приводящиеся к ним 86 7. Уравнение Риккати 87 8. Уравнение Якоби 88 9. Интегрирующий множитель 89 10. Уравнения Эйлера 91 11. Уравнения, не решенные относительно у' 94 12. Особенные решения уравнений 96 13. Задачи на траектории 96 14. Разные задачи 98 15. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка . 101 16. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения, приводящиеся к ним 106 17. Линейные уравнения. Разные задачи 111 18. Системы дифференциальных уравнений ИЗ 19. Линейные уравнения в частных производных первого порядка . . 120 Отдел XI ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1. Определенный интеграл, как предел суммы 126 2. Теоремы о среднем значении. Несобственные интегралы 128 3. Вычисление определенных интегралов интегрированием и подстановками 134 4. Нахождение интегралов с помощью формул приведения 139 5. Интегрирование с помощью рядов 141 6. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла . . 148 7. Эйлеровы интегралы 156 8. Разные задачи 159 9. Ряды Фурье и близкие вопросы 169 Отдел XII ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Комплексная плоскость. Элементарные функции 180 2. Уравнения Коши — Римана или Эйлера — Даламбера 183 3. Особые точки функции. Ряды Тейлора и Маклорена. Ряд Лорана 185 4.