Читать онлайн «Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля»

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР физико-технический институт низких температур В. А. Марченко СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУБИЛЛЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ — 1972 УДК 517. 91 530. 1 МЗО Монография посвящена построению спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка с помощью операторов преобразования. Такой подход позволил единым способом и достаточно просто получить все основные результаты спектральной теории как в самосопряженном, так и в несамосопряженном случае. Особое внимание уделено новым разделам теории (обратным задачам, асимптотическим формулам для спектральных функций и др. ), для которых аппарат операторов преобразования оказался наиболее сильным и естественным орудием исследования. В каждом параграфе приведены задачи, содержащие обобщения и уточнения излагаемого материала. Книга рассчитана на научных работников—математиков и физиков, аспирантов и студентов старших курсов математических и физических факультетов университетов. Редакция физико-математической литературы Зав. редакцией И. В. Евсеенко-Мисю- р е н к о КИЕВСКИЙ ПОЛИГРАФИЧЕСКИЙ КОМБИНАТ 2—2—3 U5-71 М ПРЕДИСЛОВИЕ Оператором Штурма — Лиувилля называется оператор L вида Lly]=s—s^M+?<*>*<*>• (1> заданный на конечном или бесконечном интервале. Начало изучению таких операторов положили известные работы Д. Бернулли, Ж. -Л. Да- ламбера и Л. Эйлера, насчитывающие более чем двухсотлетнюю давность. Почти одновременно Даламбер и Бернулли предложили два различных метода для решения уравнения колебаний струны. Из идеи, лежащей в основе метода Бернулли и получившей дальнейшее развитие в трудах Ж. -Б. Фурье, возникла спектральная теория линейных дифференциальных операторов. Предметом изучения этой теории являются краевые задачи математической физики, а основным методом — метод собственных функций. Центральное место в этом методе занимает теорема о полноте системы собственных функций. Для самосопряженных краевых задач, порождаемых операторами Штурма — Лиувилля на конечном интервале, ее впервые, в 1896 г. , строго доказал В. А. Стеклов. Новые глубокие идеи внес в спектральную теорию Д. Гильберт в своих фундаментальных работах по теории интегральных уравнений. В 1910 г. F. Вейль, опираясь на теорию интегральных уравнений, построил спектральную теорию операторов Штурма—Лиувилля, заданных на бесконечном интервале. Особенно важное значение приобрела спектральная теория после возникновения квантовой механики. Она стала не только методом решения задач, но и языком квантовой механики. В свою очередь квантовая механика стимулировала развитие спектральной теории абстрактных самосопряженных операторов, в том числе и неограниченных. Такая теория на уровне физической строгости была построена П. -А. Дираком, а строгая, включающая также теорию самосопряженных расширений,— Дж. Фон-Нейманом. Теория Г. Вейля, классическая проблема моментов и работы Т. Карлемана по интегральным уравнениям послужили основными ориентирами при построении общей спектральной теории.