Читать онлайн «Сборник задач по математической физике»

ЗАДАЧИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
И ИХ РЕШЕНИЕ



Пособие для студентов физического факультета
специальности 1-31 04 01 «Физика»



















МИНСК
2006

А в т о р ы – с о с т а в и т е л и :
В. Н. Русак, Н. К. Филиппова


Рекомендовано
Ученым советом физического факультета
28 июня 2005 г. протокол №11



Р е ц е н з е н т ы :
доктор физико-математических наук, профессор В. Т. Ерофеенко;
доктор физико-математических наук, профессор А. А. Пекарский.






Задачи по математической физике и их решения: пособие для студентов физ. спец. 1=310401 «Физика»/ авт. =сост. В. Н. Русак, Н. К. Филиппова. -Мн. : БГУ, 2006 г. -93 с.













Для студентов 1-2 курсов физического факультета и факультета радиофизики и электроники БГУ.



Предисловие
Преподавание математических дисциплин на физических факультетах Белорусского государственного университета складывалось на основе опубликованного В. И. Смирновым пятитомного «Курса высшей матема- тики»  EMBED Equation. 3 
 и серии учебных пособий  EMBED Equation. 3 
, отражающих опыт преподава- ния в московских вузах. Что касается непосредственно математической физики, то на русском языке также имеется ряд учебных пособий и сбор- ников задач  EMBED Equation. 3 
.
В 1998 г. В. Н. Русак издал краткий курс математической физики рассчитанный на 90 лекционных часов. При написании настоящего посо- бия авторы, в доходчивой форме изложили круг основных идей и мето-
дов применяемых при решении задач математической физики в рамках действующей программы. В нем по каждой теме приведены необходимые теоретические сведения, подробно разобраны решения типовых упражне- ний и предложены примеры для самостоятельной работы. Основной ак -цент делается на метод разделения переменных и применение цилиндри -ческих функций.
Пособие адресовано студентам физикоматематических специаль- ностей которые изучают дифференциальные уравнения в частных произ- водных и их приложения.




















§ 1. РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Если f(x) 2l– периодическая кусочно-гладкая функция на R, то она раскладывается в ряд Фурье
 EMBED Equation. 3 
 (1)
 EMBED Equation. 3 
 (2)
Бывает так, что функция f(x) задана и является кусочно-гладкой на отрезке (-l, l(и ее также можно разложить в ряд Фурье вида (1-2), и сумма этого ряда будет 2l – периодическим продолжением функции f(x). Добавим к сказанному, что в формулах (2) в силу 2l –периодичности можно вести интегрирование по любому отрезку длиной 2l.
Если f(x) четная 2l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты bk=0, и соответственно
 EMBED Equation. 3 
 (3)
 EMBED Equation. 3 
 (4)
Если f(x) нечетная 2l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты ak=0, и соответственно
 EMBED Equation. 3 
 (5)
 EMBED Equation. 3 
 (6)
Если f(x) кусочно-гладкая функция на отрезке (0, l(, то ее можно разложить в ряд Фурье (3), (4), так и в ряд Фурье (5), (6), осуществляя соответствующее продолжение функции f(x).
Если f(x) непрерывная 2l – периодическая функция и существует кусочно-непрерывная производная f(x), то ряд Фурье функции f(x) сходится к ней равномерно.
Для всякой кусочно-непрерывной на (-l, l( функции выполняется ра- венство Ляпунова-Стеклова
 EMBED Equation. 3 
 (7)
Если f(x) кусочно-непрерывная функция на отрезке (-l, l(, то ее ряд Фурье можно интегрировать почленно.
Предполагаем теперь, что f(x) определена на R, абсолютно интегриру- ема и является кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке.