Читать онлайн «Теория вероятностей и марковские процессы»

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Литература 7 Глава I. Критерий массивности 9 § 1. Симметричное случайное блуждание 9 § 2. Переходная функция 10 § 3. Поведение траектории при п—>со 13 § 4. Гармонические функции 15 § 5. Потенциал 18 § 6. Эксцессивные функции 22 § 7. Емкость 24 § 8. Критерий массивности 26 § 9. Массивность множества, лежащего на оси 31 Задачи 37 Глава П. Вероятностное решение некоторых уравнений . 46 § 1. Определение винеровского процесса 46 § 2. Распределение в момент выхода из круга и среднее время выхода 50 § 3. Марковское и строго марковское свойства 53 § 4. Гармоничность вероятностей выхода 54 § 5. Регулярные и нерегулярные точки границы ... . 58 § 6. Закон нуля или единицы. Достаточный признак регулярности 62 § 7. Задача Дирихле 66 § 8. Вероятностное решение уравнения Пуассона ... . 73 § 9. Инфинитезимальный и характеристический операторы 75 Задачи 80 Глава П1. Задача об оптимальной остановке 91 § 1. Задача о наилучшем выборе 91 § 2. Задача об оптимальной остановке цепи Маркова . . 102 § 3. Эксцессивные функции ^ 107 § 4. Цена игры 109 § 5. Оптимальная стратегия 111 § 6. Приложение к случайному блужданию с поглощением и к задаче о наилучшем выборе 114 1* 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 7. Оптимальная остановка винеровского процесса . . . 116 § 8. Доказательство основного свойства выпуклых функций 123 Задачи ... ... 130 Глава IV. Граничные условия 148 § 1. Введение 148 § 2. Процесс размножения и гибели 152 § 3. Каноническая шкала и вероятности выхода ... . 155 § 4. Отталкивающая и притягивающая границы 162 § 5. Характеристика, среднее время выхода и мера скорости 163 § 6. Достижимая и недостижимая граница 171 § 7. Продолжения процесса размножения и гибели. Постановка задачи 173 § 8. Мера скачков и коэффициент отражения 180 § 9. Коэффициент поглощения. Проходимость границы внутрь 187 § 10. Граничные условия 196 § 11. Теорема единственности , 200 Задачи 208 Добавление 218 § 1. Оценка функщщ g {х, у) . 218 § 2. Некоторые свойства выпуклых функций 222 § 3. Решение уравнения р {$) р {t) ^= р {s-^ t) 226 Алфавитный указатель 228 ПРЕДИСЛОВИЕ Идеи и методы теории вероятностей все шире применяются в естествознании и технике, все глубже проникают в различные области самой математики. Владеть этими методами полезно и математикам разных специальностей, и физикам, и инженерам. Между тем элементарные учебники могут дать лишь ограниченное представление о современном развитии предмета, а монографии, освещающие новые направления, обычно пишутся для специалистов и используют громоздкий теоретико-множественный и аналитический аппарат. Чтобы овладеть новыми математическими идеями, надо почувствовать их силу, увидеть, как они работают. Для этого лучше всего начинать не с обш,их теорем, а с конкретных задач. Задачи должны быть естественны, ситуация —типичной, но не осложненной второстепенными техническими трудностями, возникающими при педантичном систематическом изложении. Цель этой книги — ввести читателя именно таким путем в новейшие направления теории марковских процессов.