Читать онлайн «Алгебраическая геометрия в работах советских математиков.»

А. Б. ЖИЖЧЕНКО, кандидат физико математических наук Алгебраическая геометрия в работах советских математиков Издательство «ЗНАНИЕ» Москва 196* 517 Ж-70 75—69 Алгебраическая геометрия, как указывает само название этой науки, лежит на стыке алгебры и геометрии. Алгебра и геометрия выступают более или менее равноправными партнерами в алгебраической геометрии; иногда алгебраические проблемы переформулируются на геометрическом языке с тем, чтобы решать их, опираясь на геометрическую интуицию и пользуясь методами, разработанными в геометрии; вместе с тем часто задача о геометрических объектах переводится на алгебраический язык » решается алгебраическими методами. » Возникновение алгебраической геометрии можно отнести еще к эпохе Древней Греции, поскольку предпринятое греческими математиками изучение неопределенных уравнений второго порядка (проблема, принадлежащая в современной терминологии алгебраической теории чисел) через исследования свойств конических сечений можно считать первым примером задачи алгебраической геометрии. Основы современному подходу к задачам алгебраической геометрии были заложены Р. Декартом и П. Ферма, которым принадлежит идея о представлении геометрических объектов (линий)* на плоскости посредством уравнений от двух переменных и идея* об изучении геометрических мест на плоскости через исследование этих уравнений. Р. Декарт разделил кривые на плоскости: на «геометрические» и «механические» (Р. Декарт. Геометрия^ 1637), Г. Лейбниц ввел современную терминологию — «алгебраические» и «трансцендентные» кривые и предпринял систематическое изучение кривых высших порядков (1684). Мысль о представлении поверхности в пространстве посредством уравнения or трех переменных была высказана французским математиком Пара в 1713 г. , в 1748 г. Л. Эйлер впервые разделил поверхности на «алгебраические» и «трансцендентные» и дал классификацию алгебраических поверхностей второго порядка (см. «Введение в анализ»). В течение XVIII и первой половины XIX века было накоплено громадное количество фактов, относящихся к разным областям алгебраической геометрии. Весьма интенсивно изучались, различные классы алгебраических кривых. Начало этим иссле- & дованиям положили Декарт, Лейбниц и Ньютон,* Ньютону, в частности, принадлежит классификация кривых третьего порядка и один общий метод в теории алгебраических кривых на плоскости («диаграмма Ньютона»). Громадное число исследований было посвящено некоторым специальным кривым, характеристике особенностей кривых на плоскости, различным геометрическим свойствам кривых на плоскости. Большое число исследований было посвящено алгебраическим поверхностям, их геометрическим свойствам, описанию некоторых специальных поверхностей (поверхности второго порядка — квадрики, поверхности третьего порядка, конусы, некоторые поверхности с более сложными особенностями). Однако этим исследованиям не хватало, как правило, общих методов, широких точек зрения; методы, применявшиеся для исследования одного узкого класса геометрических объектов, ока- вывались непригодными для исследования другого класса, изучавшиеся свойства имели слишком специальный, частный характер.