Читать онлайн «Теория комплексов»

' МИНИСТЕРСТВ"© ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО i ОБРАЗОВАНИЯ УССР v - КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИН. А ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Т. Г. ШЕВЧЕНКО 517. 5 К56 Н. И. КОВАНЦОВ ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСОВ * В монографии освещена теория комплексов в евклидовом про- пространстве, проективном и на этой основе — в ряде неевклидовых t пространств. Она включает краткий библиографический указатель. Рассчитана на лиц, знакомых с основами метода внешних форм Картана в объеме книги С. П. Финикова под тем же названием и с основами линейчатой геометрии и объеме его же книг «Проективно- диффёреициальная геометрия», «Теория конгруэнции», «Теория пар конгруэнции». Может быть использована в качестве учебного посо- пособия при изучении спецкурсов по проейтивно-дифференциальной гео- метриа и отчасти — по метрической дифференциальной геометрии, а также аспирантами, специализирующимися в линейчатой гео- геометрии. . - ИЗДАТЕЛЬСТВО КИЕВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1963 I . ПРЕДИСЛОВИЕ Теория комплексов — один из разделов линейчатой геомет- геометрии. Два других ее раздела представляют собой теорию линейча- линейчатых поверхностей и теорию линейчатых конгруэнции. Однако в то время, как два последних раздела в целом ряде своих направ- направлений доведены до состояния завершенности, теория комплексов все еще остается на положении новой теории. . Причина этого заключается не столько в невнимании исследователей к вопро- вопросам новой теории, сколько в ее специфической трудности, труд- трудности, на которую в свое время обратил внимание еще Ф. Клейн. До недавнего времени работы по теории комплексов появ- появлялись лишь от случая к случаю и касались, главным образом, лишь отдельных ее вопросов. Едва ли не первой среди них яв- является работа Абеля Трансона [77], в которой ставится и ре- решается задача о расслоении трехпараметрического семейства (комплекса) прямых в однопараметрическое семейство нор- нормальных конгруэнции. Спустя некоторое время теория комплек- комплексов стала предметом специального рассмотрения у Ю. Плюк- кера [74], который впервые высказал мысль о возможности рас- рассматривать прямую линию как образующий элемент простран- пространства. Поскольку прямая в' трехмерном точечном пространстве вполне определяется четырьмя существенными параметрами (например, координатами ее точек, принадлежащих двум ка- каким-либо координатным плоскостям), то такое пространство мо- может рассматриваться как четырехмерное линейчатое простран- пространство. Приравнивая эти параметры каким-либо функциям одного аргумента, получают линейчатую поверхность, двух аргумент тов — конгруэнцию, . трех — комплекс. Рассмотрения Плкжкера касались прямых линий и многообразий, ими образованных, лишь в проективном пространстве. Если из проективных коор- координат (я1: х2 : хъ: д;4) и (у1: у2: у3: г/4) двух каких-либо точек прямой образовать матрицу . . 1хх х2 *» хЛ \у1 у} у3, у*)' то можно получит* шесть миноров которые впоследствии получили название плюккеровых коорди- координат прямой.