Читать онлайн «Введение в теорию многомерных матриц»

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ н. п. соколов ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОГОМЕРНЫХ МАТРИЦ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ -1972 517. 1 C59 УДК 512. 8 В монографии излагаются главным образом сведения о многомерных матрицах. Рассматриваются операции над ними, простейшие матричные уравнения» полиномиальные многомерные матрицы. Излагаются мультипликативные и спектральные свойства многомерных матриц с неотрицательными элементами. Книга предназначена для математиков, а также аспирантов и студентов старших курсов математических и смежных специальностей. Ответственный редактор академик АН УССР Ю. А. Митропольский Рецензенты: доктор математических наук В. П. Вельман, член-корреспондент АН УССР Ю, М. Березанский Редакция физико-математической литературы Зав. редакцией Я. В. Евсеенко-Мисюренко 2—2—5 143-72М ПРЕДИСЛОВИЕ Теория многомерных матриц является естественным обобщением теории обычных матриц и находит многочисленные применения при изучении алгебраических форм и связанных с ними геометрических образов (см. [3]). Предлагаемая книга служит введением в теорию многомерных матриц, все еще далекую от полного завершения, и состоит из восьми глав. В главе I излагаются хорошо известные основные сведения о многомерных матрицах и порождаемых ими детерминантах. Остальные главы содержат оригинальные результаты исследований автора в этой области, частью опубликованные в статьях [4—9], частью излагаемые здесь впервые. В главе II отмечаются замечательные свойства детерминантов некоторых многомерных матриц. Устанавливается общее свойство детерминантов с целочисленными элементами и обобщаются детерминантные тождества Смита и Дьиреша, рассматриваются детерминанты, порождаемые ганкелевой многомерной матрицей одного частного вида, и многомерные детерминанты, приводящиеся к обычному детерминанту Вандермонда. Главы III—VI охватывают вопросы, связанные с расширением матричных операций, необходимым для устранения тех ограничений в обобщении многих важных понятий, которые еще встречаются в теории многомерных матриц и препятствуют ее дальнейшему развитию. В главе III даются определения основных операций — сложения и умножения многомерных матриц — в зависимости от операций над ассоциированными с этими матрицами полилинейными формами. Приведенное здесь определение умножения соответствует правилам Кэли и Скотта умножения детерминантов и значительно шире обычного определения умножения многомерных матриц, вносящего некоторые ограничения в понятия единичной и обратной матриц. В соответствии с умножением определяются элементарные преобразования многомерных матриц и устанавливается понятие их эквивалентности. Упомянутые выше ограничения в понятиях единичной и обратной матриц высших измерений устраняются введением новых определений для этих матриц, вытекающих из рассмотрения простейших матричных уравнений, которым посвящена глава IV. В той же главе дается понятие о характеристических числах и собственных матрицах для данной многомерной матрицы, которые играют большую роль при исследовании ее структуры.