Читать онлайн «Теоретическая механика в задачах»

УДК 531. 39 ББК 22. 2 Б24 Барбашова Т. Ф. , Кугушев Е. И. , Попова Т. В. Б24 Теоретическая механика в задачах. Лагранжева механика. Гамильтонова механика: Учебное пособие. — М. : МЦНМО, 2013. -392 с. ISBN 978-5-4439-0225-8 Данное издание продолжает серию учебных пособий по теоретической механике, выпускаемых кафедрой теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. В пособии приводятся подробные решения задач основных типов по курсу «Аналитическая механика». Издание предназначено для студентов и аспирантов естественно-научных факультетов университетов, а также преподавателей теоретической механики. ББК 22. 2 ISBN 978-5-4439-0223-4 (общ. ) ISBN 978-5-4439-0225-8 © Т. Ф. Барбашова, Е. И. Кугушев, Т. В. Попова, 2013. © МЦНМО, 2013. Оглавление Предисловие 5 Глава 1 Лагранжева механика 7 1. 1. Уравнения Лагранжа 7 1. 1. 1. Уравнения Лагранжа системы с обобщенными силами 7 1. 1. 2. Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил 37 1. 1. 3. Понижение порядка уравнений Лагранжа по Раусу 54 1. 2. Определение реакций с помощью уравнений Лагранжа . 67 1. 3. Принцип виртуальных перемещений Даламбера 75 1. 4. Малые колебания 92 1. 4. 1. Малые колебания натуральных систем 92 1. 4. 2. Фигуры Лиссажу 120 1. 4. 3. Малые колебания в окрестности положения относительного равновесия 132 1. 4. 4. Малые колебания в окрестности стационарного движения 153 Глава 2 Гамильтонова механика 186 2. 1. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамиль- . тона 186 2. 2. Скобки Пуассона 207 2. 3. Канонические преобразования 216 2. 4. Уравнение Гамильтона-Якоби 252 2. 5. Переменные действие-угол 284 2. 5. 1. Системы с одной степенью свободы 284 2. 5. 2. Системы с несколькими степенями свободы ... . 317 2. 5. 3. Приведение гамильтониана к простому виду . . . 330 2. 6. Преобразование Биркгофа 355 Приложения 378 Литература 386 Предметный указатель 389 Основные обозначения Oxyz — декартова система координат с началом в точке О и осями Ox. Oy, Oz\ ~z — число, комплексно сопряженное z\ α — вектор а; F — вектор F; е — единичный вектор; А В — вектор с началом в точке А и концом в точке jB; А или Л — матрица А или Л\ Ε — единичная матрица; Ат — транспонированная матрица А; (a,b) — ab — скалярное произведение векторов α и 6; а2 — (а, а); \а\ = να? — модуль (величина) вектора а; \АВ\ — модуль вектора АВ\ ||а|| — евклидова норма вектора а; а х Ь —~ векторное произведение векторов а и 6; а Л β — внешнее произведение дифференциальных форм α и /3; h(t) = — производная функции a(t) по времени; α(ί) = —-т> вторая производная функции a(t) по времени; ά(ί) — — производная вектор-функции a(t) по времени; at ^00 ~ "То вторая производная вектор-функции a(t) по времени. Греческий алфавит А а — альфа В β — бета Г 7- гамма Δ δ — дельта Ε ε — эпсилон Ζ ζ — дзета Η 77 — эта Θ б — тета Ι ι — йота К /<с — каппа Л λ — лямбда Μ μ — мю (ми) Ν ν — ню (ни) Ξ ξ — кси О о — омикрон Π π — пи Ρ ρ — ро Σ σ — сигма Τ τ — тау Υ ν — ипсилон Φ φ — фи Χ χ — хи Φ ψ — пси Ωα; - омега Любимым нашим родителям и учителям посвящается Предисловие Данное издание продолжает серию учебных пособий по теоретической механике, выпускаемых кафедрой теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Пособие предназначено для обучения студентов и аспирантов решению задач по аналитической механике.