Читать онлайн «Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств»

АКАДЕМИЯ НАУК . МОЛДАВСКОЙ ССР НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПЛАНИРОВАНИЯ ГОСПЛАНА МОЛДАВСКОЙ ССР В. ГБОЛТЯНСНИЙ, П. С. СОЛТАН Комбинаторная геометрия эазличных <лассов выпуклых множеств ИЗДАТЕЛЬСТВО «ШТИИНЦА» * КИШИНЕВ * 1978 517. 5 Б79 УДК 513. 88 Комбинаторная геометрия — молодая ветвь . математи- . математики, оформившаяся в самостоятельное направление лишь в XX столетии. Ее зарождение связано с работами Хеллн, Борсука, Хадвнгера, Клн, Грюнбау. ма, Секефальви-Надя и других математиков. Данная монография — первое большое исследование советских ученых по комбинаторной геометрии. Она отличается от существующих книг по комбинаторной геометрии большим числом новых постановок задач и полу- полученных результатов. Использование различных понимании выпуклости позволяет по-иному осмыслить классические тео- теоремы комбинаторной геометрии, дает ряд новых результатов и формулировок проблем. Книга предназначена для научных работников в области геометрии, преподавателей университетов и пединститутов, аспирантов, а также может быть полезной для студентов- математиков при выборе тем курсовых и дипломных работ и как материал для спецкурсов и семинаров. Издательство «Штнппца», 1978 г. 20203—82 Без объяил. М 755A2)—78 ВВЕДЕНИЕ I Комбинаторная геометрия — дитя XX века. Ее основные результаты, проблематика, методы появились именно в нашем столетии. Круг задач, относящихся к современной комбина- комбинаторной геометрии, весьма широк. Однако можно указать неко- некоторую общую схему, в рамки которой укладывается значи- значительная часть задач комбинаторной геометрии. Именно, рас- рассматривается некоторое множество М и определенным образом связанное с ним семейство множеств Q(M). Для любого ко- конечного числа множеств К\, К2,---,К»„ принадлежащих семейст- семейству Q(M), может выполняться или не выполняться некоторое «комбинаторное» свойство а. Задача заключается в том", чтобы найти наименьшее (иногда наибольшее) натуральное число т, для которого в семействе Q(M) найдутся множества Д'ь 1\2,—,Кт, обладающие свойством а. Все исследуемые в книге задачи укладываются в эту схе- схему (или эквивалентны задачам, укладывающимся в нее), при- причем нас будут интересовать только следующие два комбина- комбинаторных свойства: at — каждые т—1 из множеств К\, К2,--,Кт имеют не- непустое пересечение, но пересечение Ki^K^. -ЛКт пусто; aL- — множества К\, К2,—,Кт составляют покрытие множе- множества М, т. е. /e1U/C2U... U/(miDJW. Таким образом, речь пойдет о двух типах задач: А) найти наибольшее натуральное ш, для которого в семействе Q(M) найдутся m множеств К\, Къ—,Кт, обладаю- обладающих свойством ал (возможно, ответом будет «число» оо, если требуемого наибольшего натурального т не существует); Б) найти наименьшее натуральное т, для которого в семействе Q(M) найдутся т множеств Ки /С2,... Дт, обладаю- обладающих свойством аи (т. е. составляющих покрытие множест- множества М). Классическая теорема Хелли [1—3J дает пример решения задачи типа А). Здесь в качестве М можно взять и-мерное пространство R", а в качестве Q(M) — семейство всех его выпуклых подмножеств. Легко указать п-\-\ выпуклых мно- множеств Ki, K2,—,Kn. i в У?", обладающих свойством а-, (например, таковыми являются (п—1)-мерные грани произвольного «-мерного симплекса TczR'1).