Читать онлайн «Вероятность, марковские процессы, приложения»

А. В. Скороход I. ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. СТРУКТУРА. МЕТОДЫ (Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. фундам. направл. , 1989, 43, 5—145) Излагаются аксиоматика теории вероятностей и основные факты, связанные со случайными величинами, случайными процессами, предельными теоремами. II. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В АНАЛИЗЕ (Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. , 1989, 43, 147—188) Статья содержит краткий обзор основных фактов теории марковских процессов (в основном — скачкообразных и диффузионных) и ее связь с теорией дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка. III. ВЕРОЯТНОСТЬ. ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ (Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. , 1989, 43, 189—270) Статья содержит краткий обзор основных понятий математической статистики, а также обзор статистических задач в теории вероятности (управляемые случайные процессы, энтропия и информация, фильтрация случайных процессов). I. ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. СТРУКТУРА. МЕТОДЫ Глава 1. Введение 7 § 1. Природа случайности 7 1. 1. Детерминизм и хаос 8 1. 2. Непредсказуемость и случайность 8 1. 3. Истоки случайности 9 1. 4. Роль случайности 10 § 2. Формализация случайности 11 2. 1. Выбор из нескольких возможностей. Случайный эксперимент. 11 События 2. 2. Частоты. Вероятность как идеальная частота 14 2. 3. Определение вероятности 16 § 3. Задачи теории вероятностей 17 3. 1. Теория вероятностей и теория меры 18 3. 2. Независимость 19 3. 3. Асимптотическое поведение вероятностных систем 20 3. 4. Вероятностный анализ 20 Глава 2. Вероятностное пространство 21 § 1. Конечное вероятностное пространство 21 1. 1. Комбинаторика 21 1. 2. Условная вероятность 23 1. 3. Схема Бернулли. Предельные теоремы 26 § 2. Определение вероятностного пространства 29 2. 1. а-алгебры. Вероятность 29 2. 2. Случайные величины. Математические ожидания 32 2. 3. Условное математическое ожидание 34 2. 4. Регулярные условные распределения 37 2. 5. Пространства случайных величин. Сходимость 38 § 3. Случайные отображения 42 3. 1. Случайные элементы 42 3. 2. Случайные функции 46 3. 3. Случайные элементы в линейных пространствах 48 § 4. Построение вероятностных пространств 50 4. 1. Конечномерное пространство 50 4. 2. Функциональные пространства 52 4. 3. Линейные топологические пространства. Слабые распределения 54 4. 4. Теорема Минлоса — Сазонова 56 Глава 3. Независимость 58 § 1. Независимость а -алгебр 58 1. 1. Независимые алгебры 5 8 1. 2. Условия независимости а-алгебр 60 1. 3. Бесконечные последовательности независимых а-алгебр 61 1. 4. Независимые случайные величины 62 § 2. Последовательность независимых случайных величин 64 2. 1. Суммы независимых случайных величин 64 2. 2. Неравенство Колмогорова 66 2. 3. Сходимость рядов из независимых случайных величин 68 2. 4. Усиленный закон больших чисел 70 § 3. Случайное блуждание 73 3. 1. Схема восстановления 73 3. 2. Возвратность 76 3. 3. Лестничные функционалы 80 § 4. Процесс с независимыми приращениями 84 4. 1. Определение 84 4. 2. Стохастически непрерывные процессы 86 4. 3.