Читать онлайн «Алгебраические кривые»

Р. Уокер АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО А. И. У 3 К О В А и*л ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва—1952 ALGEBRAIC CURVES by R. J. WALKER PRINCETON, NEW JERSEY 1950 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Книга Уокера является введением в алгебраическую геомет- геометрию в той ее части, которая связана с кривыми линиями. Две первые главы содержат все сведения из алгебры и проективной геометрии, необходимые для дальнейшего чтения книги, а делают ее доступной студенту второго курса университета. В третьей главе рассматриваются вопросы, связанные с особыми точками и точками пересечения алгебраических кривых. В последнем параграфе этой главы доказывается, что любая алгебраическая кривая квадратическими преобразованиями может быть обращена в кривую, имеющую лишь кратные точки с различными каса- касательными. Четвертая глава посвящена степенным рядам и их при- приложениям. Здесь полностью решается вопрос об определении кратности точки пересечения алгебраических кривых, доказы- доказывается в полном объеме теорема Безу об общем числе точек пере- пересечения двух кривых. Заканчивается эта глава теоремой Нётера о кривой, проходящей через все точки пересечения двух данных кривых. Пятая глава содержит изложение вопросов, связанных с рациональными и бирациональными преобразованиями. В этой же главе рассматриваются пространственные кривые, определяемые первоначально как образы плоских кривых при бирациональных преобразованиях. Заключительная глава вводит читателя в круг идей, связанных с бирациональными инвариантами кривой. Как правило, автор лишь постепенно подводит читателя к бо- более абстрактным понятиям. Он начинает с самых простых пред- представлений об излагаемом предмете, постепенно знакомя читателя с возникающими при его изучении трудностями и делая, таким образом, естественным введение в дальнейшем аппарата, необ- необходимого для преодоления этих трудностей. Так, при подсчете числа точек пересечения двух кривых сначала считаются лишь геометрически различные точки (гл. III), для их числа докаэм- Предисловие переводчика вается ослабленная теорема Везу в виде неравенства, и лишь за- затем, когда читатель сам начинает испытывать неудовлетворенность от неумения считать каждую точку с необходимой кратностью, вводится аппарат (гл. IV), позволяющий легко дать надлежащее определение кратности точки пересечения, а также связать «крат- «кратную» точку кривой с несколькими «ветвями», имеющими центры в этой точке. Автор разбирает большое количество конкретных примеров и, кроме того, приводит много задач для самостоятельных упраж- упражнений. Эти задачи не трудны, но требуют от читателя полного понимания изложенного в тексте материала, причем их решение должно привести к надежному овладению сообщенными методами. Некоторые параграфы сопровождаются, помимо вычислительных задач, еще. несколькими теоремами, которые предлагается до- доказать читателю с помощью приемов, применявшихся автором. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА Эта книга написана в качестве первоначального введения в алгебраическую геометрию.