Читать онлайн «Математические беседы. Задачи о многоцветной раскраске, задачи из теории чисел, случайные блуждания»

БИБЛИОТЕКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА ВЫПУСК 6 Е. Б. ДЫНКИН и В. А. УСПЕНСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БЕСЕДЫ ЗАДАЧИ О МНОГОЦВЕТНОЙ РАСКРАСКЕ ЗАДАЧИ ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ БИБЛИСТРКА НМУ МАТЕМАНЧЕСШ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1952 ЛЕНИНГРАД 11-3-1 Редактор А. 3. Рывкин. Технический редактор Р. А. Иегримовская. Корректор Н. В. Казанская. Подписано к печати 23/VI 1952 г. Бумага 84х108/3«. 4,5 бум. л. 14,76 печ. л. 15,46 уч. -изд. я. ' 42 000 тип. зн. в печ. л. Тираж 25 000 экз. Т-02144 Цена книги 4 р. 65 к. Переплёт 1 р. Номинал по прейскуранту 1952 г. Заказ № 3398. 4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совеге Министров СССР. Ленинград, Измайловский пр. » 29. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 5 Указания к пользованию книгой 7 РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ " ЗАДАЧИ О МНОГОЦВЕТНОЙ РАСКРАСКЕ § I. Задача о двух красках 13 § 2. Трехцветная раскраска 21 § 3. О проблеме четырех красок. Теорема Волынского . . 32 § 4. Теорема Эйлера. Теорема о пяти красках 35 Заключение 40 Добавление к разделу I. О трехцветной раскраске сферы 42 РАЗДЕЛ ВТОРОЙ ЗАДАЧИ ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Глава I. Арифметика вычетов 49 § 1. Арифметика вычетов по модулю т, или /я-арифметика 49 § 2. Арифметика вычетов по модулю р, или /^-арифметика 55 § 3. Извлечение квадратного корня. Квадратные уравнения 59 § 4. Извлечение кубического корня. Простые делители чи- чисел вида а2 + 3 61 § 5. Многочлены и уравнения высших степеней 62 * Г л а в а II. m-адические и р-адические числа 64 § 1. Применение 10-арифметики к делению многозначных чисел 64 § 2. Бескоиечнозначные числа 67 § 3. /я-адические и /7-адические числа 71 Глава III. Приложения m-арифметики и р-арифметики к теории чисел 80 § 1. Ряд Фибоначчи 80 § 2. Треугольник Паскаля 89 § 3. Дробно-линейные функции 93 1* 4 СОДЕРЖАНИЕ * Г л а в а IV. Дополнительные сведения о ряде Фибо- Фибоначчи и треугольнике Паскаля 102 § 1. Приложение р-адических чисел к ряду Фибоначчи . . 102 § 2. Связь между треугольником Паскаля и рядом Фибо- Фибоначчи 103 § 3. Члены ряда Фибоначчи, кратные заданному числу . . 106 Глава V. Уравнение х2 — 5у2=1 109 Заключение „ 112 РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ (ЦЕПИ МАРКОВА) § 1. Основные свойства вероятности 121 § 2. Задачи о блуждании по бесконечной прямой. Треуголь- Треугольник вероятностей 133 § 3. Закон больших чисел „ 143 § 4. Блуждания с конечным числом состояний 154 § 5. Блуждания с бесконечным числом состояний ... . . 167 Заключение <,. . ••••. <¦••• 179 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Раздел первый. Задачи о многоцветной раскраске ... . 181 Раздел второй. Задачи из теории чисел 210 Раздел третий. Случайные блуждания (цепи Маркова) . . 270 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга написана по материалам одной из секций школь- школьного математического кружка при Московском государствен- государственном университете им. М. В. Ломоносова, работавшей в 1945/46 и 1946/47 учебных годах. Один из авторов был руково- руководителем этой секции, другой — ее участником. Секция назы- называлась секцией общего типа. На ее занятиях рассматривались вопросы из различных областей математики.