Читать онлайн «Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения»

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР КИЕВ «НАУКОВА ДУМКА» 1977 В. А. МАРЧЕНКО ОПЕШЮРЫ ШТУРМА- ЛИУВИЛЛЯ . илх ПРИЛОЖЕНИЯ КИЕВ«НАУКОВАДУМКА»1977 517. 2 МЗО УДК 517. 9+517. 4 Рецензенты Ю. И. Любич, Е. Я. Хруслов Редакция физико-математической литературы 20ЗД4—470 ,,лчч S~\ M22i к>4)-77 146-7 (С) Издательство «Наукова думка», 1977 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Глава 1. Уравнение Штурма — Лиувилля и операторы преоб- преобразования § 1. Формула Римана 11 § 2. Операторы преобразования 16 § 3. Краевая задача Штурма — Лиувилля на конечном интервале 33 § 4. Асимптотические формулы для решений уравнения Штурма — Лиувилля 53 § 5. Асимптотические формулы для собственных значе- значений и формулы следов 68 Глава 2. Краевая задача Штурма— Лиувилля на полуоси § 1. Некоторые сведения об обобщенных функциях 98 § 2. Обобщенная спектральная функция 112 § 3. Обратная задача 127 § 4. Асимптотическая формула для спектральных функ- функций симметрических краевых задач и теорема о равносходимости 143 Глава 3. Краевая задача теории рассеяния § 1. Вспомогательные предложения 162 § 2. Равенство Парсеваля и основное уравнение . . . 185 § 3. Обратная задача квантовой теории рассеяния . . . 200 § 4. Обратные задачи Штурма — Лиувилля на конечном интервале 223 § 5. Обратная задача теории рассеяния на всей оси . . . 264 Глава 4. Нелинейные уравнения § 1. Операторы преобразования специального вида 284 § 2. Быстроубывающие решения уравнения Кортеве- га — де Фриса 295 § 3. Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриса 304 § 4. Явные формулы для периодических решений урав- уравнения Кортевега — де Фриса 324 Литература 330 Предисловие В развитии многих важных направлений математики и физики большую роль сыграли понятия и методы, зародившиеся в процессе изучения таких простых объектов, как уравнение Штурма — Лиувияля —у" + д (х) у = zya связанный с ним оператор Штурма — ЛиувилляZ = —j-j- + д(х) (в послед- последнее время его часто называют также одномерным оператором Шредингера, а функцию д (х) — потенциалом). Они были постоянным источником новых идей и задач для спектральной теории операторов и смежных разделов анализа. Этот источник не иссякает вот уж более 200 лет, с тех пор, как появились первые работы Д. Бернулли и Л. Эйлера, посвященные решению уравнения колебаний струны. Подтверждением этому могут служить не- недавно обнаруженные Г. Гарднером, Дж. Грином, М. Крускалом и Р. Миура [27] неожиданные связи спектральной теории операторов Штурма — Лиу- вилля с некоторыми нелинейными эволюционными уравнениями в частных производных. Методы, используемые (а зачастую и зарождающиеся) в процессе изуче- изучения уравнений Штурма — Лиувилля, непрерывно обогащаются. В 40-х годах арсенал таких методов пополнился новым аппаратом исследования — операторами преобразования. Этот аппарат возник в теории операторов обобщенного сдвига, созданной Ж. Дельсартом и Б. М. Левитаном (см. [15]). Для произвольных уравнений Штурма — Лиувилля операторы преобразо- преобразования построил А.