Читать онлайн «Алгебра и геометрия. Том 1»

Р. ЗУЛАНКЕ, А. Л. ОНИЩИК АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ ТОМ 1 ВВЕДЕНИЕ Москва Издательство МЦНМО 2004 УДК 512 Издание осуществлено при поддержке РФФИ ББК 22. 14 (издательский проект №02-01-14070). 393 (Y Зуланке Р. , Онищик А. Л. 393 Алгебра и геометрия: В 3 т. — Т. 1. : Введение. — М. : МЦНМО, 2004. — 408 с: ил. ISBN 5-94057-033-Х ISBN 5-94057-128-Х (Т. 1) Книга является первым томом трехтомного учебника по алгебре и геометрии, предназначенного для студентов университетов математических и физических специальностей. Она представляет собой введение в эти дисциплины и в основном соответствует материалу, изучаемому на первых двух курсах. Изложение замкнуто в себе и не зависит от организации учебного процесса, и поэтому книга может быть использована для самообразования любым читателем, интересующимся математикой и ее приложениями. Книга содержит многочисленные упражнения. Для математиков и физиков — студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников. ББК 22. 14 УДК 512 ISBN 5-94057-033-Х © Зуланке Р. , Онищик А. Л. , 2004 ISBN 5-94057-128-Х (Т. 1) © МЦНМО, 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава 0. ВВЕДЕНИЕ, ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 7 § 1. Введение 7 § 2. Элементы теории множеств 8 Глава 1. ГРУППЫ 23 § 1. Моноиды, полугруппы, группы 23 §2. Подгруппы и гомоморфизмы 31 §3. Порядок элемента. Циклические группы 41 §4. Группы преобразований 45 § 5. Категории и функторы 51 Глава 2. КОЛЬЦА И ПОЛЯ 58 § 1. Определение и простейшие свойства колец 58 §2. Поля и тела. Области целостности 64 § 3. Комплексные числа 70 § 4. Кольца многочленов 79 § 5. Факториальные и евклидовы кольца 90 §6. Поля частных 101 §7. Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены 107 §8. Многочлены над факториальными кольцами 119 §9. Многочлены над полями комплексных и вещественных чисел 122 § 10. Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса 129 Глава 3. ФАКТОРГРУППЫ И ФАКТОРКОЛЬЦА 134 § 1. Смежные классы по подгруппе. Факторгруппа 134 §2. Произведения подгрупп. Прямые произведения 144 § 3. Идеалы и факторкольца . . . . : 152 4 Оглавление §4. Кольца главных идеалов 156 §5. Присоединение корней многочлена. Доказательство теоремы Гаусса 159 Глава 4. ТОЧЕЧНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 165 § 1. Переносы. Растяжения. Векторы 166 §2. Векторные пространства 169 §3. Аксиомы аффинной геометрии 175 §4. Линейная независимость. Размерность 185 § 5. /^-плоскости 194 §6. Теоремы размерности и теорема Штейница о замене 204 § 7. Объемы и определители 210 §8. Свойства определителей и методы их вычисления 221 Глава 5. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ 231 § 1. Аффинные отображения 231 §2. Линейные отображения 239 §3. Применения к аффинным отображениям 246 §4. Алгебра линейных преобразований и алгебра матриц 253 §5. Вычисление ранга. Системы линейных уравнений 268 §6. Двойственные векторные пространства 276 §7. Преобразования координат. Инварианты 286 §8. Инвариантные подпространства и собственные векторы. ... 297 §9. Жорданова нормальная форма линейного преобразования. . 306 § 10. Билинейные формы. Эрмитовы формы.