Читать онлайн «Нелинейные уравнения и операторные алгебры»

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР В. А. МАРЧЕНКО НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАТОРНЫЕ АЛГЕБРЫ КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1986 УДК 530. 1 Нелинейные уравнения и операторные алгебры/Марчен- алгебры/Марченко В. А. —Киев: Наук, думка, 1986. — 156 с. В монографии систематически излагается метод ре- решения некоторых физически важных нелинейных урав- уравнений, основанный на замене данного уравнения уравне- уравнением того же вида относительно функций, принимающих значения в произвольной операторной алгебре. Решение операторного уравнения в виде бегущей волны (одно- солитонное) находится элементарно. Решения же исход- исходного уравнения получаются из односолитонных опера- операторных решений окаймлением их специальными конечно- конечномерными проекторами. Произвол в выборе операторной алгебры и окаймляющих проекторов позволяет находить широкие классы решений уравнений Кортевега — де Фриза, Кадомцева — Петвиашвили, нелинейных уравне- уравнений Шредингера, sin-Гордона, цепочек Тода и Ленгмюра и др. В эти классы входят решения, которые находятся методами обратной задачи и алгебраической геометрии, а также решения, не сводящиеся к ним. Для физиков, математиков, а также преподавателей, аспирантов и студентов вузов. Ил. 3. Табл. 2. Библиогр. ic. 151—152 C3 назв. ). Ответственный редактор В. А. Ткаченко Рецензенты И, В. Абстрактная схема * ♦ . . 12 § 1. Обобщенные дифференцирования и логарифмические производные « . 12 § 2. Нелинейные уравнения 16 § 3. Операция проектирования 26 Глава 2. Реализация общей схемы в кольцах матриц и М-солитонные решения 31 § 1. Матрицы Вронского 31 § 2. Условия обратимости некоторых матриц Вронского 33 § 3. JV-солитонные решения нелинейных уравнений 42 § 4. Сингулярные решения нелинейных уравнений 55 Глава 3. Реализация общей схемы в операторных алгебрах 58 § 1. Расширение алгебры С°° (В (Яо)). . . 59 § 2. Решение линейных уравнений в алгебре С°°(В(Н)) . 63 § 3. Дополнительные уравнения 70 § 4. Выбор параметров 74 § 5. Свойства логарифмических производных по отношению к операции сопряжения 91 § 6. Условия обратимости операторов f 104 Глава 4. Классы решений нелинейных уравнений * 121 § 1. Решения нелинейных уравнений 122 § 2. Связь с обратными задачами спектрального анализа 135 § 3. Уравнение Кадомцева — Петвиашвили 147 Список литературы . « . , , , 151 ПРЕДИСЛОВИЕ В 1967 г. Гарднер, Грин, Крускал и Миура [30] нашли метод интегрирования нелинейного уравнения Коргевега — де Фриза с помощью обратной задачи теории рассеяния. Дальнейшее развитие этого метода (см. работы Лакса [15], В. Е. За- Захарова, А. Б. Шабата [7] и др. ) позволило найти решения ряда важных для фи- физики нелинейных уравнений, связать его с теорией гамильтоновых систем с беско- бесконечным числом степеней свободы (Гарднер [29], В.