Читать онлайн «Краткий курс теории функций вещественной переменной»

Б. 3. ВУЛИХ КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНТЕГРАЛА ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов учиверс итгтов ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 19 73 617. 2 В 88 УДК 517. 11 Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла), Вулих Б 3. , Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973v Книга содержит изложение основ теории меры и интеграла (преимущественно — интеграла Лебега) Второе издание отличается от первого прежде всего развернутым изложением неопределенного интеграла Лебега и теоремы Радона — Никодима а также схемой построения меры. Кроме того введено понятие равностепенной абсолютной непрерывности семейства интегралов, более подробно изучены пространство измеримых функций и интеграл Радона Книга может быть использована как. при изучении теории функций вещественной переменной в виде отдельной дисциплины, так. Общие сведения о множествах ... ... ... . 9 § I. Основные операции над множествами 9 § 2. Некоторые вспомогательные соотношения 15 § 3. Мощность множества ; . . . . 17 § 4. Счетные множества 20 § 5. Множества мощности континуума 25 § 6. Сравнение мощностей 32 § 7. Кольца, полукольца и алгебры множеств ... . . 33 Глава II. Точечные множества в евклидовом пространстве . . 39 § I. я-мерное евклидово пространство 39 § 2. Предельные точки 42 § 3. Замкнутые и открытые множества 46 § 4. Структура линейного открытого множества ... . 49 § 5. Структура открытого множества в n-мерном пространстве . ... . 52 § 6. Теорема о покрытиях замкнутого множества ... . 54 § 7. Непрерывные функции 56 § 8. Борелевы множества 58 Глава ИГ. Метрические пространства 60 § 1. Определение метрического пространства 60 § 2. . Сходимость . в метрическом пространстве 64 § 3. Замкнутые и открытые множества 67 § 4. Полные метрические пространства ... ... . . 69 § 5. Сепарабельные пространства . . . . - 72 §6. Нормированные" функциональные пространства . . . 74* § 7. Линейные функционалы в нормированных пространствах 78 Глава IV. Мера в абстрактных множествах 85 § 1. -Аддитивные функции множества • . . . . 85 § 2. Мера и ее свойства 88 § 3. Внешняя мера 90 1* 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. Стандартное распространение меры с полукольца на о-алгебру 95 § 5. Единственность распространения меры 99 Глава V. Мера Лебега в евклидовом пространстве 103 § 1. л-мерные параллелепипеды 103 § 2. Объем параллелепипеда 106 § 3. Полукольцо ячеек 111 § 4. Представление открытого множества с помощью ячеек 114 § 5. Измеримые множества 116 Глава VI. Измеримые функции 123 § 1.