Читать онлайн «Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении»

М. И. ЗЕЛЩИН ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И УРАВНЕНИЕ РИККАТИ В ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВВЕДЕНИЕ Уравнения Риккати получили свое название по имени знаменитого итальянского математика*) — графаЯкопо Франческо Риккати (1676-1754), который в 1724 г. опубликовал в журнале «Acta Eruditorum» статью «Animadversationes in aequationes differentiates secundi gradus» [106], посвященную методам разделения переменных и методам понижения порядка дифференциальных уравнений. Следует заметить, что содержание статьи стало известно математической общественности несколько раньше [64]. Изучая задачу восстановления плоской кривой по свойствам ее кривизны, Риккати пришел в этой статье к рассмотрению уравнения b^. = ata + x\ (1) at В том же томе «Acta Eruditorum», где была опубликована статья Риккати, сразу же после нее следовала статья 22-летнего Даниила Бернулли, который писал, что оба Николая Бернулли (старший и младший), Иоганн Бернулли и он сам, Даниил Бернулли изучали это уравнение и что все они независимо друг от друга нашли условия на параметр а, при которых это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрируется в квадратурах. Пользуясь излюбленным приемом того времени, Д. Бернулли опубликовал ответ, зашифрованный в виде анаграммы. Риккати ответил на эту заметку в следующем номере журнала. Не касаясь известных ему условий интегрируемости**), *) Достаточно сказать, что ряд университетов приглашали Риккати на должность профессора, Петр Великий предложил ему быть Президнтом Санкт- Петербургской Академии Наук, а Венский Двор приглашал его на должность Имперского Канцлера. От всех этих предложений Риккати отказался, предпочитая жизнь в кругу семьи и занятия математикой. **) Эти условия обсуждались в переписке с Николаем Бернулли младшим, которую вел Риккати в течение пяти лет, предшествовавших публикации статьи. Сама статья была послана Иоганну Бернулли, издателю журнала «Acta Eruditorum», через того же Николая Бернулли, поэтому ее содержание и стало известно Даниилу Бернулли [80]. Риккати фактически отказался от спора о приоритете, заявив, что, публикуя статью, он вовсе не имел намерения бросать вызов высоко почитаемому им семейству Бернулли. Д. Бернулли подождал еще два года. Об уравнении Риккати (так оно стало называться уже тогда) никто более ничего не написал. Тогда он опубликовал свое решение уже в открытой форме: уравнение (1) допускает разделение переменных при _ 4п а=-2п+Г где п—целое число. При п—юо из этой формулы получаем значение а = —2, при котором уравнение также интегрируется в квадратурах. В 1841 г. Лиувилль доказал, что при всех остальных значениях параметра а уравнение (1) не интегрируется в квадратурах. Впоследствии, как это часто случается в математике, название «уравнение Риккати» стало относиться не только к уравнению вида (1), но и к любой системе обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью. При исследовании уравнения Риккати обычно использовались чисто аналитические методы, хотя иногда в них проглядывали и геометрические аспекты [46, 96, 97, 105] и др.