Читать онлайн «Вычислительная линейная алгебра : учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 230400 "Прикладная математика" и специальности 230401 "Прикладная математика"»

АЛЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ В. М. Вержбиикии Вычислительная линейная алгебра \-2f-^K3=t Э\ X, =S, 2VX5-XS=5 *=(A|W = 1-2 111 2 0 -31 Si -1414 2 -1 ■*' 5' X =—— =-%0№ OZSf -Я?8?-Я250(-2) ■43* _-9-1ззз(-1)-2,зз -3 3(-2) vTHKA MATEM/i В. М. Вержбиикий Вычислительная линейная алгебра Лопушено УМО по образованию в области приклалной математики и управления качеством в качестве учебного пособия лля стулентов высших учебных завелений, обучаюшихся по направлению полготовки 230400 «Приклалная математика» и специальности 230401 «Приклалная математика» ^ПГоу Москва «Высшая школа» 2009 УДК 512 ББК 22. 143 В31 Рецензенты: кафедра информационных технологий в машиностроении Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева (зав. кафедрой - д-р физ. -мат. наук, проф. И. Х. Сайтов)) академик РАН, проф. A. M. Липанов (Институт прикладной механики УрО РАН) Вержбицкий В. М. В31 Вычислительная линейная алгебра: Учеб. пособие для вузов/ В. М. Вержбицкий. -М. : Высш. шк. , 2009. - 351 с: ил. ISBN 978-5-06-005829-1 Рассмотрены теория и практика получения треугольных, ортогональных и сингулярных разложений вещественных матриц. Показано, как эти разложения и лежащие в их основе преобразования используются для решения систем линейных алгебраических уравнений (в частности, плохо обусловленных и вырожденных), обращения и псевдообращения матриц, вычисления собственных и сингулярных значений, решения линейных задач о наименьших квадратах и некоторых других задач. Изложение материала сопровождается конкретными алгоритмами и числовыми примерами. Для студентов вузов, обучающихся по математическим и техниче- CKUAt направлениям, а также для всех, кому важно знание современных численных методов линейной алгебры. УДК 512 ББК 22. 143 ISBN 978-5-06-005829-1 €< ОАО «Издательство «Высшая школа», 2009 Оригинал-макет данного ивдания является собственностью издательства «Высшая школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запрещается ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 6 Глава 1. Разложения квадратных матриц 8 §1. 1. Виды факторизации 8 § 1. 2. LU-разложение И §1. 3. UrU- и UrDU - разложения 17 § 1. 4. Преобразование Хаусхолдера и QR-разложение 23 § 1. 5. QR -разложение на основе преобразований Гивенса 35 Упражнения 43 Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений 45 §2. 1. Метод Гаусса (схема единственного деления) 45 § 2. 2. Решение СЛАУ и обращение матриц на основе LU -разложения 56 §2. 3. Решение симметричных СЛАУ 63 § 2. 4. Метод прогонки 65 §2. 5. Методы отражений и вращений 76 Упражнения 82 Глава 3. Итерационные методы решения СЛАУ 85 § 3. 1. Некоторые общие сведения об итерационных процессах 85 § 3. 2. Метод простых итераций 90 §3. 3. Методы Якоби, Зейделя и ПВР (SOR) 100 3 § 3. 4. О других подходах к построению итерационных методов 120 §3. 5. Итерационное обращение матриц 131 Упражнения 138 Глава 4. Задачи на собственные значения 142 § 4. 1. Собственные пары матриц и некоторые их свойства 142 § 4. 2.