Читать онлайн «Введение в теорию чисел»

УДК 511. 212+511. 331+511. 334+511. 5+511. 6+511. 9+512. 742+512. 743 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин Авторы Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин СОДЕРЖАНИЕ Предисловие Q. I. Задачи и приемы. Глава 1. Элементарная теория чисел 10 § 1. Задачи о целых числах. Делимость и простота 10 § 2. Диофантовы уравнения первой н второй степени ... . 25 § 3. Кубические уравнения 4? § 4. Задачи о континууме: приближения и непрерывные дроби . 53 Глава 2. Избранные современные задачи элементарной теории чисел 5^ § 1. Разложение на множители и асимметричное шифрование . . 59 § 2. Достоверные тесты простоты 65 § 3. Разложение больших чисел на множители 7? § 4. Диофантовы приближения и иррациональность ? C) 83- II. Идеи и теории. Глава 1. Индукция н рекурсия 90" § 1. Элементарная теория чисел с точки зрения логики ... 90 § 2. Днофантовы множества 92 § 3. Частично рекурсивные функции и перечислимые множества . 97 § 4. Диофантовы множества и алгоритмическая неразрешимость . 10(> Глава 2. Арифметика алгебраических чисел 107 § 1. Алгебраические числа: реализации и геометрия 107 § 2. Разложение простых идеалов, дедекиндовы кольца и норми- нормирования 118 § 3. Локальные н глобальные методы 126 § 4. Теория полей классов 146 § 5. Группа Галуа в арифметических задачах 159 Глава 3. Арифметика алгебраических многообразий 176 § 1. Арифметические многообразия: схемы конечного типа иад коль- кольцом целых чисел 170- § 2. Геометрические методы изучения днофаитовых уравнений . 18& § 3. Основные геометрические классы диофаитовых уравнений и _ систем *2' § 4. Диофаитовы уравнения н представления Галуа § 5. Теорема Фальтиигса и проблемы коиечиости в диофантовой . геометрии Глава 4. Дзета-функции и модулярные формы § 1. Дзета-функции арифметических схем . . ... . . § 2. L-функцин, теория Тэйта и явные формулы § 3. Модулярные формы и эйлеровы произведения ... . . |? § 4. Модулярные формы и представления Галуа 30+ § 5. Автоморфные формы и программа Ленглеидса ЗН> Литература ПРЕДИСЛОВИЕ Теория чисел среди математических дисциплин выделяется скорее психологической установкой, чем предметом «целые числа». Более сильное утверждение было бы неверным: в тео- теоретико-числовых работах исследуются и алгебраические, и трансцендентные числа; или, вообще, не числа, а скажем, анали- аналитические функции очень специального вида (ряды Дирихле, модулярные формы); или геометрические объекты (решетки, схемы над Z). Принадлежность результатов статьи к теории чисел определяется принятой автором системой ценностей: ес- если арифметика в нее не входит, то и статья не теоретико-чис- теоретико-числовая, хотя бы в ней шла речь исключительно о сравнениях и классах вычетов; если же входит, то что угодно — динамичес- динамические системы или теория гомотопий — может оказаться мощ- мощным теоретико-числовым инструментом. Только по этой причи- причине комбинаторика и теория рекурсивных функций обычно не считаются теоретико-числовыми дисциплинами, а теория моду- модулярных форм считается. В этом обзоре мы будем понимать теорию чисел широко.