Читать онлайн «Теоремы устойчивости в геометрии и анализе»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт математики им. С. Л. Соболева Ю. Г. Решетняк ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ В ГЕОМЕТРИИ И АНАЛИЗЕ 2-е издание, переработанное и дополненное НОВОСИБИРСК Издательство Института математики 1996 Р47 Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. — 2-е раб. и доп. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — ISBN 5-86134-017-Х. В монографии излагаются решения проблемы М. А. Ла об устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отоб в пространстве и в теореме Дарбу, а также некоторые пр теорем устойчивости. Большой интерес представляет разра для решения указанных задач математическая техника. Е издании изложены результаты, касающиеся задачи об усто изометрических преобразований. Библиогр. 140. г 1602070000-03 Без овь-вп С Я82(03)-96 Ьез объявл- ISBN 5-86134-017-Х © Решетняк Ю. Г. , 1996 © Институт математики им. С Л. Соболева СО РАН Предисловие В дифференциальной геометрии хорошо известны теоремы единственности, утверждающие, что какой-то класс геометрических объектов однозначно характеризуется определенным свойством, общим для всех элементов этого класса. Примером такой ситуации может служить классическая теорема Дарбу: всякая поверхность в пространстве, все точки которой омбилические, является куском сферы или плоскости. Другой пример — теорема Лиувилля о конформных отображениях в пространстве. Наглядно отображение области п- мерного евклидова пространства конформно, если оно преобразует всякую бесконечно малую сферу в бесконечно малую сферу. Пример конформных отображений — мёбиусовы преобразования, т. е. композиции конечного числа преобразований инверсии относительно сферы. Теорема Лиувилля утверждает, что всякое конформное отображение в пространстве мёбиусово. Говорят, что в теореме единственности имеет место устойчивость, если справедливо следующее утверждение. Предположим, что для данного геометрического объекта условия теоремы единственности выполнены приближенно. Тогда в целом этот объект мало отличается от тех, которые описываются теоремой единственности. «Приближенное» выполнение, или, как говорят, выполнение с точностью до е, где е > 0 мало, условий теоремы единственности можно, разумеется, понимать по-разному. Близость к объектам некоторого класса также может определяться различными способами. Поэтому в связи с конкретной теоремой единственности возможны различные задачи об устойчивости. Основные результаты книги относятся к задаче об устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространства. Задача рассматривается здесь в постановке, принадлежащей М. А. Лаврентьеву и опирающейся на понятие отображения с ограниченным 4 Яр< искажением. Отображение с ограниченным искажением xi зуется, грубо говоря, тем, что оно сохраняет ориентацию бесконечно малый шар преобразует в бесконечно малый эх у которого отношение наибольшей и наименьшей полуосе) восходят некоторой постоянной К > 1. В случае К = 1 ото( мёбиусово. Задача об устойчивости в теореме Лиувилля с том, чтобы показать, что при К, стремящемся к единице, о: ние неограниченно приближается к мёбиусовым, и оценить отклонения отображения от мёбиусовых в зависимости от в» К — 1.