Читать онлайн «Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными»

Ю. А. Розанов СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Систематически излагается общий функциональный подход к изучению обобщенных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих многие важные теоретико-вероятностные модели с помощью обобщенных случайных функций. Изучаются граничные свойства обобщенных функций, дается характеризация всех возможных граничных условий для общего (линейного) дифференциального оператора, устанавливается разрешимость общих граничных задач, дается их точное и приближенное решение. На этой основе находятся различные характеристики случайных полей, возникающих в предлагаемой общей теоретико-вероятностной модели, изучается их вероятностное поведение (например, устанавливается марковское свойство), рассматриваются различные задачи прогнозирования, задачи идентификации и оценки параметров самой модели по статиетпческн. м данным и др. От читателя предполагается знание основ функционального анализа и теории вероятностей. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Введение 7 Глава I. Обобщенные случайные функции и их реализации 18 § 1. Некоторые вводные понятия 16 1° Обобщенные случайные функции (16). 2° Пространства типа W(2Q). 3° Пространства с воспроизводящим ядром (24). 4° Обобщенные случайные функции и стохастические интегралы (27). § 2. Пространства пробных обобщенных функций 32 1° Пробные пространства типа W(32). 2° Пробные пространства, связанные с операторами в Li (34). 3° Пробные пространства для дифференциальных операторов (37). 4° Преобразование Фурье пробных обобщенных функций (41). 5° Положительные дифференциальные операторы (55). 6 Мультипликаторы и локализация пробных обобщенных функций (59). § 3. Реализация случайных обобщенных функций и некоторые теоремы 63 вложения 1° Обобщенные функции и Соболевские пространства (65). 2° Реализация случайных функции и некоторые теоремы вложения (66). 3° Гауссовские случайные функции (71). 4° Вложения Гильберта — Шмидта (72). 5° Случайные обобщенные функции и Соболевские пространства (76). § 4. Граничные значения обобщенных функций (случай соболсвских 79 пространств) 1° Некоторые характерные свойства Соболевских пространств (79). 2° След обобщенных функций и граничные значения (82). 3° Полнота системы граничных значений (92). 4° Некоторые функциональные свойства граничных значений (95). Глава П. Дифференциальные уравнения для обобщенных случайных 99 функций § 1. Обобщенные дифференциальные уравнения 99 1° Пробные функции для операторных уравнений (99). 2° Некоторые примеры (105). § 2. Граничные задачи 119 1° Общие граничные условия для обобщенных дифференциальных уравнений И19). 2° Стохастическое волновое уравнение (132). 3° Стохастические эллиптические и параболические уравнения (147). § 3. Однородные уравнения 159 1° Общий тип разрешимых граничных задач; точные и приближенные решения (159). 2° Гладкость и продолжаемость решении; устранимые особенности (164). 3° Продолжаемость и предельное поведение решений (169).