Читать онлайн «Алгебра и арифметика комплексных чисел»

Р. О. КУЗЬМИН и Д. К. ФАДДЕЕВ АЛГЕБРА и АРИФМЕТИКА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ГОСУДАРСТВЕННОВ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НАРКОМПРОСА РСФСР • ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ЛЕНИНГРАД - 1939 512. 9 К 89 ПРЕДИСЛОВИЕ. Комплексные числа имеют в современной математике исключительно важное значение. В частности, теория функций комплексного переменного является в настоящее время предметом, имеющим первостепенное значение в прикладной математике. Ее знание становится необходимым элементом образования все более широких кругов инженерно-технических работников. Знакомство с элементами теории комплексных чисел требуется и от учащегося средней школы. О значении ее в чистой математике и говорить не приходится — здесь она давно стала одним из основных отделов науки. Ряд разнообразных математических фактов, с которыми ириходится встречаться при прохождении элементарной математики, получает свое полное объяснение лишь с помощью теории комплексных чисел. Сюда в первую очередь относятся многие вопросы алгебраического характера. Так; например, решая систему уравнений, учащийся нередко приходит к уравнению третьей или четвертой степени, которое удается решить тем или иным элементарным приемом. При этом более подготовленные учащиеся неизбежно приходят к вопросам о числе корней уравнения, о сопряженности корней уравнения с вещественными коэфициентами, о соотношении между корнями и коэфициентами уравнений. Все это и многие другие вопросы, в значительной степени примыкающие к материалу, входящему в содержание повседневного преподавания в средней школе, получают свое полное выяснение лишь с помощью теории комплексных чисел. Знание их совершенно необходимо преподавателю старших классов средней школы. Книга, содержащая изложение этих вопросов, будет полезна не только преподавателю, но и более "подготовленные учащиеся старших классов прочтут ее с пользою, хотя бы частично. При составлении настоящей книги авторы имели в виду изложить основ; ные сведения по теории комплексных чисел, более или менее непосредственно связанные с элементарной математикой. В книгу вошли прежде всего четыре действия с комплексными числами и извлечение корней из них. К этому естественно было прибавить основную теорему алгебры и ряд элементарных следствий из нее, существенных в теории целых рациональных функций и теории алгебраических уравнений. К числу дальнейших приложений, показывающих всю плодотворность введения комплексных чисел в науку, относится формула Эйлера для мнимых показателей. Она вносит единство и завершенность в теорию элементарных функций. С ее помощью в этой теории весь цикл вычислительных операций/вводимых в элементарной математике, оказывается всегда выполнимым, не считая особых значений аргумента. С введением в вычисление мнимых чисел математика получает средство извлекать корень любой степени и вообще решатьлюбое алгебраическое уравнение. Более того, оказывается возможным находить значения показательной, логарифмической и тригонометрических функций, прямых и обратных, при всех значениях аргумента, кроме особых значений, представляющихся исключительными.