Читать онлайн «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Том 124. Геометрия»

ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ СЕРИЯ СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Тематические обзоры Том 124 ГЕОМЕТРИЯ О ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ИХ ОБОБЩЕНИЯХ1 И. Гинтерлейтнер, И. Микеш хРАБОТА ВЫПОЛНЕНА ПРИ ПОДДЕРЖКЕ ГРАНТА MSM 6198959214 ЧЕШСКОЙ РЕСПУБЛИКИ. § 1. Введение Диффеоморфизмы и автоморфизмы обобщенных геометрических пространств образуют одно из актуальных направлений дифференциальной геометрии. Большое число работ посвящено изучению геодезических, квазигеодезических, голоморфно-проективных, почти геодезических, ^-плоских и других отображений, преобразований и деформаций пространств аффинной связности, римановых и кэле- ровых пространств. Настоящая работа посвящена вопросам решений фундаментальных уравнений, существование которых связано с существованием выше указанных отображений, преобразований и деформаций. При тех или иных условиях одна задача может характеризоваться и несколькими уравнениями, которые имеют свои преимущества. Кроме того, вопрос эквивалентности этих уравнений может быть связан с их рассмотрением «в малом» или «в целом». В общем случае рассматриваемые уравнения имеют очень сложную форму. Решению систем дифференциальных уравнений в частных производных посвящено много работ. Большой вклад в эту теорию внес А. Картан [52] и многие другие математики [8], [30], [45]. Среди систем уравнений в частных производных особо выделяются системы уравнений в частных производных типа Ко- ши. Для линейных уравнений указанного выше типа вопросы существования их решений сводятся к алгебраическим методам — к изучению систем линейных алгебраических уравнений. Кроме того, изучение этих систем дает ответ на многие вопросы о существовании решений как локального характера, так и «в целом». Теория решений уравнений типа Коши (т. е. систем уравнений в частных производных типа Коши) в достаточно большой мере отражена во многих монографиях, см. , например, [35], [56], [57], [79], [87]. Многие задачи дифференциальной геометрии, среди них и приведенные задачи специальных отображений, преобразований и деформаций, удалось описать указанными выше уравнениями типа Коши. Это достигалось, как правило, изучением и анализом уже известных уравнений. Многие результаты в этой области были получены авторами, см. [5]-[7], [11], [14]—[21], [23], [28], [37], [48], [68], [70]-[72], [74], [75], [77], [84], Щ. Очевидно, что системы дифференциальных уравнений в частных производных, как правило, переопределены. Это вытекает из того, что для существования решения данной системы должны выполняться условия интегрируемости. Поэтому нетрудно привести пример системы даже двух уравнений в частных производных, которая вообще не имеет решения даже ло- кально. Этим такие системы сильно отличаются от обыкновенных дифференциальных уравнений. В последнее время появились работы (см. , например, [54], [55], [63]), целью которых является исследование переопределенных систем уравнений с частными производными, так называемым' тракторным анализом.