Читать онлайн «Теория Галуа (в МИАНе)»

Труды Математического института АН СССР 1984, том 168 У Д К 511. 6 Д. К. ФАДДЕЕВ ТЕОРИЯ ГАЛУА (В МИАНе) 1°. Основные понятия Теория Галуа была создана ее гениальным основоположником как теория алгебраических уравнений, в первую очередь с точки зрения и х разрешимости в радикалах. В качестве одного из основных принципов Галуа [1] вводит следующее понятие рациональности: «... Более того, можно условиться рассмат­ ривать как рациональности все рациональные функции от некоторого числа определенных количеств, предположенных a priori известными». Я с н о , что это понятие рациональности обозначает, в современной терминологии, принадлеж" ность к некоторому данному числовому полю. В д р у г о й работе [2] Галуа смело присоединяет корни неприводимых сравнений по простому модулю и тем самым п вводит в математику конечные поля (поля Галуа, GF ( р ) ) , не являющиеся чис­ ловыми. Основная идея Галуа, л е ж а щ а я в основе его исследования разрешимости алгебраических уравнений, вкратце состоит в следующем. Д л я уравнения / (х) = 0 без кратных корней с рациональными (в смысле Галуа, т. е. принад­ лежащими данному полю) коэффициентами рассматриваются все рациональные соотношения F (x х , . . . , х ) = 0 м е ж д у корнями х , х . . . , х уравнения v 2 п г 21 п (рациональность понимается в смысле: F — полином с коэффициентами из по­ ля, положенного в основу). Д а л е е , рассматривается множество всех подстано­ вок корней, не меняющих множество всех таких соотношений. Эти подстановки составляют группу (в современном понимании этого термина). Эта группа назы­ вается группой Галуа уравнения / (х) = 0. Устанавливается, что всякий поли­ ном G (х , х , . . . , х ) от корней уравнения, не меняющий своего значения при г 2 п всех подстановках группы Галуа, имеет значение в основном поле. При расширении основного поля все рациональные соотношения, по отно­ шению к исходному полю, сохраняются, но могут добавиться новые, так что группа Галуа может только уменьшиться. Если удастся понизить группу Га­ луа до единичной, то все полиномы от корней, в частности сами корни, о к а ж у т ­ ся принадлежащими к построенному полю, так что исходное уравнение можно считать решенным. Важным вспомогательным средством в исследованиях Галуа является вве­ дение вспомогательного неприводимого уравнения Ф (t) = 0, корни которого 6, 6', . . . рационально выражаются через один из н и х 6, рационально выра­ жаются через х , х , . . . , х , а сами х , х , . . . , х рационально выражаются г 2 п г 2 п через Э. Таким образом, 9 является порождающим (примитивным) элементом д л я поля, полученного из исходного присоединением х , х , . . . , х .