Читать онлайн «Основы теоретической логики»

GRUNDZUGE DER THEORETISGHEN LOGIK Von D. HILBERT und W. ACKERMANN zweite, verbesserte Auflage New Vork 1946 д. ГИЛЬБЕРТ и В. АККЕРМАН ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Перевод с немецкого А. А. ЕРОФЕЕВА Редакция, вступительная статья и комментарии проф. с. А. я Н о Б с к о П 1947 Государственное издательство ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ Историю излагаемой в этой книге теоретической или математической ^ как правильнее ее называть, логики начинают обычно с «универсальной характеристики» Лейбница, после чего переходят к работам А. де Моргана, Бум, Длсевонса, Шредера, Пирса, принадлежащим XIX в. И хотя это в известной мере правильно ^, все же, в основном, математическая логика должна быть отнесена к числу новейших научных дисциплин, характерных именно для науки XX в. Прежде всего, в XX в. математическая логика, по существу, стала частью математики. Существует ряд соображений, в силу которых ей следует называться именно математической логикой. Ее рост обусловливается, в первую очередь, потребностями математики. Создание неевклидовых геометрий, в истории которых основное место принадлежит нашему соотечественнику Я. Я. Ло- бачевскому, и возникновение методов современной теоретико- множественной математики породили и в математике ту крутую ломку понятий, подлинную двойственную сущность которой вскрыл в. Я. Ленин в «Материализме и эмпириокритицизме». Наука, с одной стороны, испытала невиданное еще в ее истории развитие и притом не только количественное, но и качественное; она стихийно встала на путь материалистической диалектики. Но в условиях империализма самый прогресс науки породил реакционные попытки идеалистической философии паразитировать на науке, использовать каждый новый успех ее в своих целях. Именно такого рода картина, на деталях которой мы не имеем здесь возможности остановиться, развернулась и в области проблем обоснования математики, лежащих на границе математики и логики. Уже в самом начале исследований, приведших в дальнейшем к созданию неевклидовых геометрий, математикам пришлось заняться разбором различных вариантов рассуждений, претендовавших на право называться доказательствами евклидовского постулата о параллельных. Так как при ^ Если не забывать при этом оригинальные работы русского ученого — казанского математика и логика П. С< Порецкого. G Предисловие к русскому переводу этом чаще всего обнаруживалось, что в числе посылок явно или неявно используется допущение, попросту равносильное самому постулату, то возникла естественная потребность выявить все посылки, на которых в действительности построена система «Начал» Евклида. Однако завершена эта работа была лишь в начале XX в. в известных «Основаниях геометрии» Д. Гильберта. Гильберт точно перечислил основные неопределяемые понятия геометрии, с помощью которых определяются остальные ее понятия, и основные недоказываемые предложения, с помощью которых доказываются все остальные предложения. Но для того чтобы проверить, что перечисленных аксиом действительно достаточно для доказательства всех вообще истинных предложений некоторой науки и что с их помощью нельзя, на" оборот, вывести ложное заключение, нужно было располагать обзором не только всех принимаемых посылок, но и всех допустимых средств вывода из них новых предложений.