Читать онлайн «Конкурсные задачи по математике: [Справ. пособие]»

М. К. ПОТАПОВ С. Н. ОЛЕХНИК Ю. В. К. , Олехник С. Н. , Нестеренко Ю. В. Конкурсные задачи по математике: Справ, пособие. — Изд. 3-е, стер. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 416 с. — ISBN 5-9221-0373-3. Приведены задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы. Основ- Основное внимание уделено методам решения уравнений и неравенств, систем уравнений. Рассчитана на учащихся и учителей старших классов школ и лиц, готовящихся к вступительным экзаменам в вузы. Будет полезной учащимся подготовительных отделений вузов и преподавателям математики. Второе издание — 2001 г. Табл. 4. Ил. 112. ISBN 5-9221-0373-3 © физматлит, 1992,2001,2003 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Г л а в а I. УРАВНЕНИЯ § 1. Основные определения. Простейшие уравнения ... ... ... . 8 1. 1. Область допустимых значений и корни уравнений (8). 1. 2. Корни простейших уравнений (9). 1. 3. Уравнение-следствие A1). 1. 4. Рав- Равносильные уравнения A3). 1. 5. Равносильность уравнений на множе- множестве A4). 1. 6. Совокупность уравнений A5). Упражнения ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 16 §2. Равносильные преобразования уравнений ... ... ... ... . 21 2. 1. Простейшие преобразования уравнений B1). 2. 2. Преобразова- Преобразования, связанные с применением тождественных равенств B2). 2. 3. Ре- Решение алгебраических уравнений B3). 2. 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям B7). 2. 5. Преобразования, связанные с супер- суперпозицией функций B8). Упражнения ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 30 §3. Равносильность уравнений на множестве ... ... ... ... . 31 3. 1. Приведение подобных членов уравнения C1). 3. 2. Освобожде- Освобождение уравнения от знаменателя C2). 3. 3. Тождественные преобра- преобразования уравнения на множестве C2). 3. 4. Замена уравнения сово- совокупностью уравнений C7). 3. 5. Сокращение уравнения на общий множитель C8). 3. 6. Возведение обеих частей уравнения в четную степень C9). 3. 7. Преобразования, связанные е логарифмированием уравнения D1). 3. 8. Преобразования, связанные с потенцированием уравнения D1). 3. 9. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину D2). Упражнения ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 44 § 4. Неравносильные преобразования уравнений ... ... ... ... 46 А. Переход к следствию ... ... ... ... ... ... ... 46 4. 1. Приведение подобных членов уравнения D6). 4. 2. Освобождение от знаменателя D6). 4. 3. Возведение в степень D7). 4. 4. Потенциро- Потенцирование уравнений D9). 4. 5. Преобразования, связанные с квадратными корнями E0). 4. 6. Преобразования, связанные с логарифмическими формулами E0). Б. Потеря решений уравнения ... ... ... ... ... ... 51 Упражнения ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 53 Оглавление § 5. Тригонометрические уравнения ... ... ... ... ... ... 55 5. 1. Разложение на множители E5). 5. 2. Замена переменных E6). 5. 3. Уравнения вида P(sinx,cosx) = 0 E7). 5. 4. Уравнения вида a sin х + Ь cos х = с, а ф 0, 6/0 E9). 5. 5. Равносильные преобра- преобразования уравнений с применением тригонометрических формул F1). 5. 6. Преобразования уравнений с применением тригонометрических формул, справедливых на некотором множестве F6).