Читать онлайн «Вариационные и квазивариационные неравенства в механике»

А. С. КРАВЧУК ВАРИАЦИОННЫЕ И КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА В МЕХАНИКЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Вариационный метод — мощный теоретический инструмент исследования явлений и процессов в технических устройствах, природе, живых организмах и сообществах. Сила метода в том, что наиболее общие его утверждения и теоремы сами являются законами природы. Суть вариационного подхода к определению истинного состояния системы заключается, как известно, в сравнении нескольких близких состояний и использовании таких критериев отбора, которые позволяют удовлетворить всем уравнениям и условиям задачи. В исторически первой вариационной теории, построенной Лагранжем для определения механических систем с голономными удерживающими связями, — принципе возможных перемещений, — в качестве критерия отбора использовано равенство нулю работы сил, действующих на систему и предполагаемых неизменными при бесконечно-малых возмущениях истинного состояния. Было установлено, что для потенциальных систем равенство нулю возможной работы представляет собой условие стационарности некоторой функции — полной энергии системы. Переход от удерживающих связей к неудерживающим (односторонним—типа натянутой нити) был выполнен впервые Фурье; анализ показал, что возможная работа на возмущениях устойчивого состояния равновесия системы с односторонними связями должна быть положительной или, во всяком случае, неотрицательной. Следовательно, применение вариационной теории в таких ситуациях приводит к необходимости решать уже не уравнения, а неравенства, т. е. в общем случае задача оказывается нелинейной. Динамика систем с односторонними связями была впервые разработана М. В. Остроградским и завершена в трудах Майе- ра и Цермело. Здесь, по существу, был построен алгоритм интегрирования уравнений движения, при котором в каждый момент времени связи, не оказывающие влияния на систему, отбрасываются, и задача сводится к классической — для систем с удерживающими связями. В дальнейшем теория была обобщена на системы с бесконечным числом степеней свободы — задачи механики сплошной среды. Впервые такого рода задачу рассмотрел М. В. Остроградский; применительно к механике деформируемого твердого тела основополагающей оказалась работа Синьорини — о равновесии линейно упругого тела в гладкой жесткой оболочке. Цель настоящей книги — осветить по возможности весь круг вопросов, возникающих при исследовании систем с односторонними ограничениями — не обязательно геометрического характера. Даны физические постановки проблем; особое внимание в этой части уделено новому классу задач — о контакте упругих и неупругих элементов конструкций для произвольной геометрии поверхности контакта, наличии трения, сил адгезионного сцепления. Подробно разработан математический аппарат, опирающийся на теорию оптимизации (математическое программирование), эквивалентные преобразования задач о поиске стационарных точек, а также ряд вспомогательных предложений и утверждений из теории функций и функционального анализа, численных методов.