Читать онлайн «Разложения вероятностных законов»

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА Ю. В. ЛИННИК РАЗЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАКОНОВ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1960 Печатается по постановлению Редакционно-аздательского совета Ленинградского университета В книге излагаются вопросы, примыкающие к теории суммирования независимых случайных величин в аналитическом аспекте. После вспомогательных сведений из теории функций комплексного переменного подробно излагаются свойства характеристических функций случайных величин. Эти свойства применяются к построению достаточно обширной теории разложения вероятностных законов (главным образом безгранично делимых). Далее даются применения полученных теорем к теории суммирования независимых случайных величин без предельной пренебрегаемости и к некоторым вопросам математической статистики. Книга рассчитана на преподавателей вузов, научных работников, студентов старших курсов и аспирантов, интересующихся теорией вероятностей* Памяти А. Я- Хинчина ПРЕДИСЛОВИЕ В данной монографии рассматриваются вопросы теории разложения вероятностных законов, области, по применяемому ею аппарату смежной между теорией вероятностей и теорией функций комплексного переменного. Эта область начала развиваться с 1936 г. , со времени работы Г. Крамера [51]; большие вклады в неё сделали Г. Крамер, А. Я- Хинчин, П. Леви и другие. Эт результаты имелись в разрозненном виде в различных журналах. В 1957 г. появилась небольшая монография Д. Дюгэ [60], которая содержит много интересного материала, в том числе примеры самого Д. Дюгэ, но не охватывает довольно общих теорем, доказанных в 1957—1958 гг. Кроме того, основные теоремы А. Я. Хинчина в этой книге не доказаны, а относящиеся к ним рассуждения на стр. 33—34 [60] неубедительны. Нужный для развития теории разложений вероятностных законов аппарат изложен в гл. 1; при этом такой материал, как свойства производных чисел Дини, „стаканчики И. М. Виноградова", теорема Палей—Винера, изложение которого не всегда легко найти, приведен с подробными доказательствами, для более распространенных теорем указаны лишь формулировки. В гл. 2 о характеристических функциях приведено много материала, не используемого далее (в том числе новые теоремы В. М. Золотарева); эта глава может служить сводкой основных результатов о характеристических функциях. Главы 7—10 излагают результаты автора о разложениях безгранично делимых законов (в основном, с гауссовой компонентой), доказанные в 1957 г. В доказательстве условий достаточности внесены упрощения. Так, удалось освободиться от применения свойств точек Лебега суммируемых функций; введено простое преобразование, заменяющее суммируемую функцию абсолютно непрерывной. 5 Изложение в главах 7—10 принято концентрическое. Многие теоремы 7 и 10 глав, а также теоремы Г. Крамера и Д. А. Райкова следуют из теоремы 10. 0. 1. Но для выяснения действия метода, приложения которого, по-видимому, еще не исчерпаны, предпочтительно излагать эти приложения сперва к более простым случаям, где схема действия достаточно прозрачна, а затем, ссылаясь на них, переходить к более сложным случаям.