Читать онлайн «Краткий курс теории экстремальных задач»

Э. М. Галеев В. М. Тихомиров . а». краткий курс ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДОПУЩЕНО ГОСУДАРСТВЕННЫМ КОМИТЕТОМ СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ, ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ МАТЕМАТИКА» Издательство Московского университета 1989 ББК 22. 18 i Г15 \ УДК 519. 6 1 Рецензенты: кафедра теоретической кибернетики ЯрГУ, профессор М. С. Никольский Га л ее в Э. М. , Тихомиров В. М. Г15 Краткий курс теории экстремальных задач. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1989. — 204 е. : ил. ISBN 5—211—00313—6. В пособии рассмотрены наиболее фундаментальные результаты математического программирования, классического вариационного исчисления и оптимального управления, из которых складывается основной курс методов оптимизации. Излагаются основания выпуклога анализа, проблематика расширения экстремальных задач и теории существования решений, достаточные условия экстремума, понятия о динамическом программировании и численных методах решения. Приведены решения ряда экстремальных задач,' возникающих в теории- космонавтики, доказаны некоторые классические неравенства методами теории экстремальных задач. В книгу включено более 400 задач, что позволяет использовать пособие на практических занятиях и в практикумах. Для студентов вузов, обучающихся по специальности «математика». Г 1402060000(4309000000)^108 ББК ^ 077(02)—89 ISBN 5—211—00313—6 © Издательство Московского* университета, 1989 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 5 Введение 6 Г. Исторический очерк б 2. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами . . 10 3. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями ... 12 Часть I a ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ . 17 § 1. Элементы функционального анализа, дифференциального исчисления и выпуклого анализа 17 1. 1. Нормированные и банаховы пространства 17 1. 2. Некоторые теоремы из геометрии и функционального анализа 19 1. 3. Определения производных . 22 1. 4. Основные теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах . 25 1. 5. Элементы выпуклого анализа « 33 § 2. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Задачи выпуклого программирования 41 2. 1. Задачи без. ограничений . • 42 2. 2. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств 45 2. 3. Задачи выпуклого программирования 47 2. 4. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств 51 2. 5. Примеры 54 2. 6. 6 методах решения экстремальных задач. Градиентный метод и метод Ньютона - 55 § 3. Задачи линейного программирования 57 3. 1. Симплекс-метод 57 3. 2. Обоснование симплекс-метода 62 § 4. Классическое вариационное исчисление 68 4. 1. Задача Больца 68 4. 2. Простейшая задача классического вариационного исчисления 72 4. 3. Изопериметрические задачи 77 § 5. Задача Лагранжа 80 5. 1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа 81 5. 2. Задача с подвижными концами 86 5. 3. Задачи со старшими производными 88 § 6. Задачи оптимального управления , 91 6Л>. Принцип максимума Понтрягина 91 6. 2. Примеры 100 Часть II ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ 105 § 7.