Читать онлайн «Задачи всесоюзных математических олимпиад»

БИБЛИОТЕКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА ВЫПУСК 18 Н. Б. ВАСИЛЬЕВ А. А. ЕГОРОВ ЗАДАЧИ ВСЕСОЮЗНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО МАТ ЕШ. Б. , Егоров А. А. Задачи Всесоюзных ма- математических олимпиад —М. : Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. , 1988. — 14 л. — (Б-ка мат. кружка; вып. 18). —288 с. — ISBN 5-02-013730-8. Содержит около 450 задач, предлагавшихся на заключитель- заключительных турах математических олимпиад СССР, начиная с самых первых. Задачи размещены в хронологическом порядке и снаб- снабжены решениями. Многие из них являются своеобразными ма- математическими исследованиями, позволяющими читателям озна- ознакомиться с идеями и методами современной математики. Для школьников старших классов, учителей и руководителей математических кружков. Рецензент доктор физико-математических наук В. М. Тихомиров D 1702010000—146 со оо _ „ В „ 52-88 © Издательство «Наука». иоо(и. г)-оо Главная редакция физико-математической ISBN 5-02-013730-8 литературы. 1988 ПРЕДИСЛОВИЕ Увлечение математикой часто начинается с раз- размышлений над какой-то особенно понравившейся за- задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке. Богатым источником таких задач слу- служат различные олимпиады — от школьных и город- городских до международных. В этой книге собрана полная коллекция задач заключительного тура математических олимпиад, проводимых по всей стране с начала 60-х годов. За- Задачи занумерованы подряд; по табличке, составлен- составленной для каждой олимпиады, можно восстановить на- наборы задач, предлагавшихся участникам в каждой из трех параллелей — в 8, 9 и 10 классах. К задачам, предлагавшимся на олимпиадах 1961— 1979 гг. , приведены решения, задачи последних олим- олимпиад A980—1987) снабжены краткими указаниями. Задачи первых олимпиад 60-х годов (они назы- назывались всероссийскими) в среднем попроще, но и здесь встречаются замысловатые головоломки, подо- подобрать ключ к которым нелегко. Самые трудные за- задачи помечены звездочкой. Очень разнообразны задачи и по математиче* скому содержанию. Почти в каждом варианте олимпиадных заданий встречаются традиционные по формулировке задачи об окружностях и треугольниках, квадратных трех- трехчленах и целых числах, уравнениях и неравенствах. Конечно, это не просто упражнения на проверку зна- знаний и применение стандартных школьных приемов, а чаще всего теоремы, которые нужно доказать, за- задачи на отыскание множеств (геометрических мест), минимумов или максимумов, требующие некоторого исследования. 1* 3 Значительно больше, однако, задач с далеко не стандартной формулировкой. Для поиска ответа и доказательства здесь нужны не столько школьные знания, сколько здравый смысл, изобретательность, умение логично рассуждать, перевести необычное условие на подходящий математический язык.