Читать онлайн «Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии»

P. H. ЩЕРБАКОВ ОСНОВЫ МЕТОДА ВНЕШНИХ ФОРМ И ЛИНЕЙЧАТОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ loMih 1«)7:{ P. H. ЩЕРБАКОВ ОСНОВЫ МЕТОДА ВНЕШНИХ ФОРМ И ЛИНЕЙЧАТОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТОМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Томск—1973 В предлагаемой книге изложены основы метода внешних форм Картана с применением к линейчатой дифференциальной геометрии. Особенностью книги является отдельное изложение алгебраической основы метода Картана— теории систем внешних алгебраических уравнений. На основе этой теории доказательство основных теорем Картана о существовании аналитических решений систем внешних дифференциальных уравнений значительно упрощается. Специальная глава посвящена изложению метода подвижного репера и его модификации — метода репеража подмногообразий, связанного с неголономной геометрией. Вторая часть книги дает изложение метрической теории регулюсов (линейчатых поверхностей), конгруэнции и комплексов при помощи методов, изложенных в первой части книги, и служит, таким образом, развернутым примером того, как используется метод Картана в дифференциальной геометрии. Эта часть книги не претендует на исчерпывающее изложение теории, но дает возможность перейти к изучению специальной литературы. Книга рассчитана на студентов университетов и педагогических институтов, специализирующихся по математике, а также на аспирантов-геометров. Она представляет интерес и для широких кругов математиков и меха* ников, желающих познакомиться с сущностью метода Картана. Редактор — Л. 3. Кругляков ИЗДАТЕЛЬСТВО ТОМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, 1973 © ПРЕДИСЛОВИЕ Локальная дифференциальная геометрия трехмерного пространства развивается уже более двухсот лет. Постепенно усложняются изучаемые в !ней геометрические образы, совершенствуются ее методы. На ее основе путем обобщений и аналогий развились и современная «геометрия в целом» и так называемая глобальная геометрия. Последняя не только трактует пространства произвольной размерности и многообразия весьма сложного устройства, но преодолела и саму локальность, т. е. ограничение рассмотрения «достаточно малой окрестностью». Геометрия в целом сводит до минимума требования гладкости, т. е. дифференцируемости функций, которыми она оперирует. И все же локальная или, как иногда говорят, классиче* екая дифференциальная геометрия сохраняет большое значение и как отправная база для обобщений и аналогий, и как объект для апробирования новых методов, и даже просто как таковая, ибо она теснейшим образом связана с многочисленными прикладными проблемами — картографическими, ге^ одезическими, механики сплошной среды и т. п. Вот почему и сейчас многие геометры во всем мире про,т должают разработку проблем локальной дифференциальной геометрии, а почти все специалисты по самым различным областям современной геометрии в начале творческого пути пробовали свои силы на ее задачах, среди которых все еще есть много интересных и нерешенных. Особенным вниманием в последние десятилетия пользу· е. тся. линейчатая дифференциальная,. , геометрия, которая вплотную примыкает к механике оплошной среды.