Читать онлайн «Математические основы теории симметрии»

П. И. Голод, А. У. Климык МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИММЕТРИИ В книге рассмотрены методы теории групп и алгебр Ли, конечных и дискретных групп, а также других алгебраических структур, составляющих современный математический аппарат теории симметрии в физике, и широко используемый в квантовой теории поля, теории элементарных частиц и ядра, теории твердого тела, квантовой химии. Излагаются основы теории аффинных алгебр и их представлений, теория представлений квантовых групп и алгебр. Для научных работников в области теоретической и математической физики, аспирантов и студентов физических и математических факультетов университетов. Содержание Предисловие 5 Глава 1. Основные сведения 9 § 1. Элементарные понятия теории групп 9 § 2. Расширения групп 25 § 3. Симметрическая и знакопеременная группы 36 § 4. Топологические группы 50 § 5. Группы пространственных симметрии 63 § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 90 Глава 2. Группы Ли 113 § 1. Элементы анализа на многообразиях 113 § 2. Группы Ли. Матричные группы 139 § 3. Локальное исследование групп Ли 149 § 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли 170 § 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли 183 Глава 3. Представления групп и алгебр 198 § 1. Основные понятия теории представлений 198 § 2. Представления групп Ли. Общие свойства 222 § 3. Представления компактных групп 233 § 4. Представления конечных групп 247 § 5. Представления группы SU(2) 271 § 6. Индуцированные представления 299 § 7. Разрешимые и нильпотентные группы 338 Глава 4. Полупростые и аффинные алгебры Ли 346 § 1. Полу простые группы и алгебры Ли 346 § 2. Классификация полу простых алгебр Ли 366 § 3. Вещественные формы 376 § 4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 392 § 5. Представления полупростых алгебр Ли 415 § 6. Представления аффинных алгебр Ли 425 Глава 5. Квантовые группы и алгебры 435 § 1. Алгебры Хопфа 435 §2. Квантовая алгебра Uq(s\2) §3. <7-осцилляторная алгебра и алгебра C/„(sl2) §4. Алгебра функций на квантовой группе SL (2) §5. Представления квантовой группы SL 12) §6. Анализ на квантовой группе SUJ2) §7. Переход от SLq(2) к Uq(s\2) §8. Квантовые сферы и копредставления на них Библиография Предметный указатель Предметный указатель 449 465 478 485 494 504 508 515 523 ^-многочлены Якоби большие 514 — малые 491 автоморфизм алгебры Ли 99 — группы 18 алгебра 90 — <7-осциляторная 465 — Вирасоро401 — Грассмана 106 — Клиффорда 97 — Паули 98 — Хопфа 443 — ассоциативная 90, 440 — вещественная 90 — внешняя 105, 482 — градуированная 102 — групповая 245 — квантовая 451 — кватернионов 92 — коммутативная 90 — комплексная 90 — полупростая 349 — простая 91, 350 — с делением 92 — с единицей 90 — тензорная 104 — универсальная обертывающая 106 — функций 481 алгебра Ли 99 — аффинная 394 — вещественная 396 — группы Ли 157, 166 — коммутативная 99 — линейная 100 — нильпотентная 343 — петель 393 — полупростая 353 — простая 353 — разрешимая 341 — редуктивная 352 аналитическая структура 115 антикоммутатор 94 антипод 443 ассоциативность 9 атлас максимальный 115 база накрытия 59 — расслоения 61 базис Гельфанда - Цетлина 423 — Картана - Вейля 358 — Пуанкаре-Биркгофа-Витта 107 — симплектический 144 биалгебра 442 биидеал 442 вектор аналитический 227 — весовой 418, 463 — касательный 119, 121 — направляющий 161 — параллельный 185 — старшего веса 418 — циклический 210 вес 426 — доминантный 419 — представления 418 — старший 418 — целочисленный 419 внешнее умножение 126 внешняя /г-форма 105 генератор 131 геодезическая 186 гладкая структура 115 гомеоморфизм 52 гомоморфизм алгебр 91 — алгебр Хопфа 443 — биалгебраический 442 — групп 18 — коалгебр 441 градуирование 103 границы дискретных серий 330 группа 9 — Вейля 360, 361,414 — Мебиуса 78 — Пуанкаре 57, 86, 337 — абелева 10 — аффинная 11 — гладких преобразований 130 — движений 12 — диэдра 14 — знакопеременная 41 — изометрий 11 — когомологий 32 — коммутативная 10 — конформная 86 — локальная 180 — непрерывная 52 — нильпотентная 35 — односвязная 58 — параболическая 332 — первая гомотопическая 56, 57 — полупростая 35 — преобразований 10 подобия 12, 86 — простая 35 — псевдоевклидова 72 — разрешимая 35 — с мультипликаторами 10 — свободная 17 коммутативная 17 — симметрии 10 — симметрическая 37 — симплектическая 144 вещественная линейная 144 — спинорная 375 — токов 403 — топологическая 52 — унимодулярная 197 — унитарная 146 — фундаментальная 56, 57 — циклическая 13 — экспоненциальная 226 группа Вейля 384 группа Ли 139 — локальная 180 — нильпотентная 343 — полупростая 354 — простая 354 — экспоненциальная 171 диаграмма Юнга 267 стандартная 267 — весовая 420 диффеоморфизм 118 дифференцирование алгебры 351 — внутреннее 351 единица алгебры 90 — группы 9 — кватернионная 92 замыкание 51 звездное множество 138 идеал 91 — Хопфа 443 — двусторонний 91 — левый 91 — правый 91 идемпотент 265 — примитивный 265 изоморфизм алгебр Ли 99 — групп 18 — топологических групп 54 инвариантность левая 507 — правая 507 индекс группы 21 — сплетения 210 интеграл инвариантный 494, 511 — на алгебре Хопфа 494 камера Вейля 362 квадрика Клейна 88 класс когомологический 137 — смежный левый 20 правый 20 — сопряженных элементов 24 коалгебра 440 — коммутативная 440 коассоциативность 440 когерентное состояние 475 коединица 440 коидеал 441 кольцо когомологий де Рама 137 коммутатор 99, 124 комодуль левый 447 — правый 447 конус Титса 433 копредставление алгебры Хопфа левое 447 правое 446 — матричное 448 — унитарное 499 — эквивалентное 448, 493 корень алгебры Ли 356 — мнимый 396 — ограниченный 383 — отрицательный 359, 396 — положительный 359, 396 — простой 362, 384 коумножение 440 коцикл 32 коэффициенты Клебша - Гордана 287 — Рака 294 квантовой алгебры 460 — аффинной связности 184 — пересвязывания 294 кратность веса 420, 426 — накрытия 59 — органиченного корня 383 — представления 242 кривая гладкая 119 — интегральная 129 лемма Пуанкаре 138 — Шура 212 локальная карта 114 — векторного расслоения 63 — гладко согласованная 114 массивная подгруппа 243 матрица Картана 365, 398, 409 — Якоби118 — унитарная 68 мераХаара 196 метрика псевдориманова 189 — риманова 189 метрический тензор 160 многообразие диффеоморфное 118 — ориентированное 116 — псевдориманово 189 — риманово 189 — страницей 116 — топологическое 114 модуль Верма 428 накрытие 58 — универсальное 60 неприводимость операторная 205 — пространственная 205 норма 199 нормализатор 23 нормальный делитель 15 нормальный ряд 35 область Гординга 224 образ гомоморфизма 18 окрестность 50 оператор Казимира 231 — Лапласа 233, 284 — изометрический 212 — инвариантный 210 — инфинитезимальный 131, 225 — порождающий 131 — представления 223 — свертки 128 — сплетающий 210 орбита 22 ориентация 116 орисфера 77 открытое множество 50 отображение аналитическое 117,118 — голоморфное 116 — дифференцируемое 117, 118 — координатное 114 — кососимметричное 105 — накрывающее 58 — экспоненциальное 170, 187 параллельный перенос 185 перестановка 36 — циклическая 37 подалгебра 90 — Картана354 подгруппа 9 — борелевская 82 — инвариантная 15 — однопараметрическая 164 подкоалгебра 441 подкомодуль 447 подкопредставление 447 подпредставление 204 подпространство весовое 426 — корневое 356, 383 подстановка 36 поле векторное 123 Ф-связное 132 левоинвариантное 160, 161 правоинвариеантное 161 — тензорное кривизны 187 кручения 187 порядок группы 10 поток глобальный 131 — локальный 130 — максимальный 130 представление 200 — Фока 471, 473 — алгебры 203, 467 — алгебры Хопфа 446 — антиголоморфное 222 — бесконечномерное 201 — векторное 201 — весовое 426 — вещественно-аналитическое 416 — вполне приводимое 205 — голоморфное 222 — квазирегулярное 301 — квантовой группы 488 — комплексное 415 — конечномерное 201 — контраградиентное 208 — линейное 198,200 — матричное 204 — неприводимое 204 — неразложимое 205 — полущиклическое 463, 471 — приводидмое 204 — присоединенное алгебры Ли 159 группы Ли 156 — со старшим весом 427 — точное 201 — унитарное 206 — фундаментальное 419 — циклическое 471 — эквивалентное 212 преобразование аффинное 185 — конформное 12 — несобственное 65 — нильпотентное 340 — ортогональное 11 — полупростое 338 — симплектическое 144 преобразование Фурье алгебры Хопфа 503 — на квантовой группе 503 произведение косое 63 — полупрямое 28 — скалярное 199 — тензорное 219-221 производная алгебры 341 — ковариантная 184 производная Ли в пространстве к- форм134 — в пространстве векторных полей 133 пространство Гординга 224 — банахово 199 — вполне несвязное 55 — гильбертово 199 — дискретное 51 — дуальное 441 — евклидово 11 — касательное 119, 122 — линейно связное 55 — линейное симплектическое 143 — локально евклидово 114 — накрывающее 58 — проективное 24 — псевдоевклидово 72 — с аффинной связностью 183 — связное 54 — топологическое 50 — унитарное 146 — хаусдорфово 51 — эрмитово 146 псевдориманова структура 189 путь гомотопный 56 — непрерывный 55 — эквивалентный 56 радикал группы 36 разложение Ивасавы 390 — Картана 378 ранг алгебры Ли 355 вещественный 382 расслоение 61 — Стинрода 63 — векторное 62 — главное 310 — касательное 123 — кокасательное 123 — линейное 62 — локально-тривиальное 61 — со структурой группы 63 — тривиальное 62 расширение группы 25 — разложимое 32 — центральное 32 ряд Кемпбела-Хаусдорфа 176 самопредставление 201 связная компонента 55 связность аффинная 183 инвариантная 185 симметричная 189 — линейная 55 — псевдориманова 191 — риманова 191 серия представления дискретная 300, 326, 330 — дополнительная 325, 329 — основная неунитарная 316 унитарная 321, 328 сечение расслоения 124 симметризатор Юнга 268 симметрии Редже 291, 296 сингулярный к-куб 136 слой над точкой 61 — расслоения 62 согласованность аналитическая 115 — класса Сю 115 спиральность 338 стабилизатор 23 структурные константы алгебры 93 — алгебры Ли 99 — группы Ли 151 супералгебра Ли 109 схема Дынкина 367 — Юнга 267 таблица характеров 259 теорема Бернсайда 215 — Кэли 39 — Лагранжа21 — Ли 341 — Петера-Вейля 237 — Шура 29 — Эйлера 66 — Энгеля 344 — взаимности Фробениуса 306 теорема Эйлера 44 тождество Рака 297 — ЯкобиШ траектория 129 транзитивное действие 22 транстпозиция 38 углы Эйлера 65 универсальная 7?-матрица 453 унитаризация представления 207 уравнение Янга-Бакстера 454 фактор нормального ряда 35 фактор-алгебра 91 фактор-группа 21, 53 форма Киллинга 159 — вещественная алгебры 452 комплексной алгебры Ли 102 — внешняя 105 — дифференциальная замкнутая 137 линейная 125 точная 137 — жорданова 339 — линейная доминантная 429 целочисленная 429 формула Кемпбелла - Хаусдорфа 173 — знаменателя 432 функция Вигнера 281 — разбиения Костанта 413 — сферическая 282 зональная 244 на квантовой сфере 513 присоединенная 244 — центральная 241 характер представления 218, 431 характеристика Эйлера 44 центр 23 централизатор подгруппы 23 — элемента 24 цикл 37 элемент Казимира 451 — алгебры нечетный 95 нильпотентный 95 четный 95 — группово-подобный 442 — обратный 9 — порождающий 15 — примитивный 442 — сопряженный 19 ядро гомоморфизма 18 якобиан 118 Содержание Предисловие 5 Глава 1. Основные сведения 9 § 1. Элементарные понятия теории групп 9 § 2. Расширения групп 25 § 3. Симметрическая и знакопеременная группы . . 36 § 4. Топологические группы 50 § 5. Группы пространственных симметрии 63 § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 90 Глава 2. Группы Ли 113 § 1. Элементы анализа на многообразиях 113 § 2. Группы Ли. Матричные группы 139 § 3. Локальное исследование групп Ли 149 § 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли 170 § 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли . . 183 Глава 3. Представления групп и алгебр 198 § 1. Основные понятия теории представлений ... . 198 § 2. Представления групп Ли. Общие свойства ... . 222 § 3. Представления компактных групп 233 § 4. Представления конечных групп 247 § 5.