Читать онлайн «Сборник задач московских математических олимпиад»

СБОРНИК ЗАДАЧ МОСКОВСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД Настоящая книга представляет собой плод многолетней коллективной работы школьного математического кружка при МГУ, работы, активное участие в которой принимали многие студенты и преподаватели Московского Университета, а также школьники — участники кружка. Установление авторства отдельных задач потребовало бы в настоящий момент совершенно непосильной исследовательской работы. Составитель и редактор считают, однако, своим долгом выразить благодарность следующим лицам, принявшим участие в составлении решений и указаний, а иногда и в выяснении смысла «темных» задач подготовительных сборников: Г. М. Адельсону-Вельскому, В. Л. Арлазарову, В. И. Арнольду, Д. Н. Бернштейну, И. Н. Бернштейну, Л. Н. Вассерштейну, А. М. Габриэлову, А. М. Леонтовичу, С. В. Казакову, А. А. Кириллову, О. А. Котию, Ю. И. Манину, 3. А. Скопецу, Е. И. Славутину, Г. В. Смирновой, А. Л. Тоому, Д. Б. Фуксу, А. X. Хованскому, М. В. Шейнбергу. В Г. Болтянский. А. А. Леман ОГЛАВЛЕНИЕ В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. Школьный математический кружок при МГУ 3 и Московские математические олимпиады Литература 47 Часть первая Подготовительные задачи 51 А. Алгебра § 1. Доказательство тождеств 52 § 2. Суммирование конечных последовательностей 52 § 3. Доказательство неравенств 54 § 4. Решение уравнений и систем уравнений 56 § 5. Исследование уравнений, систем уравнений и неравенств 59 § 6. Многочлены 61 § 7. Прогрессии 65 § 8. Делимость чисел 66 § 9. Задачи с целыми числами 71 § 10. Разные задачи 76 Б. Геометрия § 1. Задачи на вычисление 82 § 2. Отыскание точечных множеств 83 § 3. Задачи на доказательство. I. Прямые и многоугольники 86 § 4. Задачи на доказательство. П. Окружности 93 § 5. Задачи на построение. I. Многоугольники. Построения с 95 ограниченными возможностями § 6. Задачи на построение. II. Окружности 100 § 7. Прямые и плоскости в пространстве 101 § 8. Многогранники 103 § 9. Поверхности и тела вращения 105 § 10. Задачи на наибольшие и наименьшие значения 106 §11. Разные задачи 109 В. Смешанный отдел Задачи комбинаторные, логические, задачи на клетчатой бумаге и другие 111 задачи Часть вторая. Задачи московских олимпиад 122 Ответы и указания к решению подготовительных задач 208 Решения олимпиадных задач 298 ШКОЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК ПРИ МГУ И МОСКОВСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ* Каждую весну в течение уже многих лет по Москве расклеиваются афиши, призывающие школьников посе- посетить не театр или концертный зал, а скромные, строгие аудитории Московского Университета. Здесь, в этих ауди- аудиториях, умолкают звонкие детские голоса и в наступаю- наступающей торжественной тишине начинается конкурс юных ма- математиков — Московская математическая олимпиада. Для всех учащихся, интересующихся математикой, олимпиада — это большой праздник. Работники механи- механико-математического факультета МГУ буквально с ног сби- сбиваются, отвечая на многочисленные вопросы волнующихся школьников и иногда не менее взволнованных учителей: — Когда читаются лекции для участников олимпиады? — Будут ли консультации? — Могут ли в олимпиаде участвовать неотличники? — Где можно достать тренировочные задачи и сколько их необходимо решить? — Будет ли разрешено участие в олимпиаде школьнику, который учится только еще в VI классе? — Можно ли приносить с собой учебники?