Читать онлайн «Введение в резонансную аналитическую динамику.»

Предисловие » . Многие важные аналитической динамики описываются нелинейными математическими моделями, а последние, как правило, представлены нелинейными дифференциальными или интегродифференциальными уравнениями. Отсутствие точных универсальных методов исследования нелинейных систем обусловило разработку богатого арсенала приближенных аналитических и численно-аналитических методов, могущих быть реализуемыми в эффективных компьютерных алгоритмах. Если попытаться дать им некоторую общую характеристику, то можно утверждать, что практически все приближенные методы строятся по "итерационному принципу". Это значит, что сначала каким- то образом для задачи выбирают начальное приближение, а затем итерациями находят добавки различного порядка малости к начальному приближению. Это правило особенно эффективно при исследовании математических моделей, описываемых регулярными по малым параметрам нелинейными уравнениями. Под термином "итерация" мы понимаем либо последовательные приближения, либо цепочку последовательных преобразований фазовых переменных, либо функциональные ряды с убывающими по величине членами. В историческом аспекте первое приближение сначала рассматривалось как решение некоторой линейкой задачи (отсюда и происхождение термина "метод линеаризации"), к которому добавлялись некоторые малые функции (пропорциональные малому параметру), определяемые в рамках той или иной теории возмущений. Например, при изучении колебаний математического маятника Ньютон рассматривал малые колебания tp(i) маятника, то есть линейную задачу вида где и>,А — постоянные величины. Это линейное уравнение служит начальным приближением для нелинейного уравнения V> + u> sin xl> — А, описывающего колебания rf/(t) математического маятника, не обязательно малые по величине. Подобным образом поступал Лагранж при рассмотрении вековых возмущений в планетной задаче трех тел при малых возмущениях. Тогда впервые была решена система дифференциальных уравнений вида Предисловие x + u2x = F(t), где х — шести-, восьми- или десятимерный вектор, w — вектор постоянных частот, F(i) — fi-периодическая по t вектор-функция. Другой подход к решению нелинейных задач состоит в том, что за начальное приближение берется решение некоторой нелинейной, но существенно более "простой" системы, чем первоначальная. Эта упрощенная система может быть получена различными способами, но в колебательных моделях небесной механики еще со времен Лагранжа и Гаусса чаще всего используется метод усреднения (или, иначе, метод сглаживания) периодических или почти периодических функций, входящих в аналитическую структуру уравнений. Позже, и особенно в наше время, методы усреднения в сочетании с асимптотическими представлениями (в смысле Пуанкаре) стали применяться как основное конструктивное средство решения сложных задач аналитической динамики, формализованных на языке дифференциальных уравнений. Это стало возможным благодаря работам Н. Н. Боголюбова 30- х годов, в которых проблема решения нелинейных уравнений была сформулирована как задача о преобразовании исходных дифференциальных уравнений в новые, упрощенные, так называемые уравнения сравнения.