Читать онлайн «Алгебра и начала анализа»

в. Е. ввйц, и. т. двмидов АПГЕБРА И НАЧАПА АНАЛИЗА ПРОБНЫЙ УЧЕБНИК ; ПОД РЕДАКЦИЕЙ АКАДЕМ КЛАСС А. Н, КОЛМОГОР ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ» МОСКВА 1969  912(075) B 26 6-6  Г Л А в А П Е Р в А Я принцип МАТЕМАТИЧЕСКОЙ индукции § 1. ПОНЯТИЕ о полной и неполной мАтвмАтичЕской индукции индукцией называется метод рассуждений, ведущий от част- ных примеров к некоторому общему выводу. Такое понимание относительно слова «сумма» часто удобно в мате- матических рассуждениях. Легко заметить, что во всех приведенных примерах сумма пер- вых нечетных чисел равна квадрату числа слагаемых. Отсюда мож- но сделать предположение, что так будет и при любом числе сла- гаемых. Это предположение (гипотезу) можно сформулировать так: равенство l+3+5-|—... +(2n-—1)==n2 (1) справедливо для любого натурального числа п. Здесь из пяти рассмотренных примеров сделан общий вывод, который, как показано будет дальше, верен. _Рассмотрим еще пример. Подставляя в квадратный трехчлен P(x)=x2+x+41 вместо х первые пять последовательных натуральных чисел, полу- чаем: Р (1) = 43, Р (2) = 47, Р (3) = 53, Р (4) = 61, P (5) = 71. Все полученные значения данного трехчлена являются простыми ЧИСЛЗМИ. ПОДСТЗВЛЯЯ вместо х ЧИСЛО НуЛЬ И последовательно yM€Hb' ШЗЮЩИВСЯ отрицательные ЧИСЛЗ ДО - 4, r1o. nyqaeM:  Р(О)==41‚Р(——-1)=41,Р(—2)=43, Р(-—3)=47, Р(—-4)=53. Значения данного трехчлена снова являются простыми числами. При желании эти испытания можно продолжить много дальше с тем же результатом. Можно доказать, что хе + х + 41 будет простым числом при всех Целых х в пределах —- 40 < x sf 39. Возникает гипотеза (предположение), что значение трехчлена хе + x + 41 при любом целом значении х будет простым числом. Однако эта ги- потеза ошибочна, так как, например, Р(40) =40*+ 40+ 41 = 412. Из этих двух примеров видно, что один и тот же метод рассужде- ний в первом случае привел к верному общему выводу, а во вто- ром —к неверному общему выводу. Поэтому такой метод рас- суждений не является доказательством. Однако этот метод нередко позволяет сформулировать гипотезу, которую потом удается стро- го доказать каким-нибудь другим способом. Так как общий вывод делается из рассмотрения нескольких примеров, не охватывающих всех возможных случаев, то такой метод называется неполной индукцией. В отличие от неполной индукции аналогичное рассуждение, в котором рассмотрены все возможные случаи, называется полной индукцией для любого натурального значения n. Очевидно, полную индукцию можно применить для доказатель- ства общего вывода только в том случае, когда число всех возмож- ных частных случаев конечно. Этот метод нельзя применить к дока- зательству справедливости равенства (1) для любого натурального числа n, так как здесь мы имеем бесконечное множество частных случаев таких равенств и поэтому их все проверить нельзя. В качестве примеров применения полной индукции к доказа- тельству общих утверждений рассмотрим задачи. 1.