Читать онлайн «Геометрические неравенства и задачи на максимум-минимум»

Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА И ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ Книга представляет собой сборник задач с указаниями и подробными решениями. Все задачи посвящены оценкам геометрических величин, чаще всего обязанных с треугольником и тетраэдром. Ряд задач заимствован из недавних научных работ; однако, в книге нет ни одной задачи, решение которой требовало бы знаний, выходящих за рамки школьной программы. Многие из задач предлагались на московских математических олимпиадах или разбирались на занятиях школьного математического кружка при МГУ. Книга рассчитана в первую очередь на школьников старших классов; она может быть использована преподавателями математики для кружковых и факультативных занятий, а также студентами педагогических институтов. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 4 Список задач, предлагавшихся на математических олимпиадах 12 Задачи 15 1. Задачи смешанного содержания A — 42) 15 2. Геометрические неравенства D3 — 64) 25 3. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений 33 геометрических величин F5 — 88) 4. Задачи о треугольнике и тетраэдре (89 — 120) 39 Решения 63 Литература 313 Ответы и указания 319 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга представляет собой четвертый из сборников Еадач, отражающих опыт работы школьного математического кружка при Московском государственном университете и математических олимпиад московских школьников1). Первый из сборников был посвящен арифметике и алгебре; в него, в частности, был включен раздел, посвященный неравенст- неравенствам, и значительное место заняли алгебраические и арифмети- арифметические задачи на отыскание наибольших и наименьших величин. Эта книга имела наиболее счастливую судьбу: она выдержала четыре издания, переводилась на языки нацио- национальных республик и на иностранные языки и, видимо, обре- обрела свою читательскую аудиторию. Однако судьба двух последующих книг, посвященных геометрии, была совсем иной. ') Вот предшествующие книги этого ряда: 1) Д. О. Шклярский, Г. М. Аде л ьсон-Вельский, Н. Н. Ченцов, А. М. Я г л о м, И. М. Я г л о м, Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. 1, Арифметика и алгебра, Гостехиздат, 1950, 296 стр. ; Д. О. Ш к л я р с к и й, Н. Н. Ч е н ц о в, И. М. Я г лом, Избранные задачи и теоремы... , ч. 1, Арифметика и алгебра, изд. 2-е, переработанное и дополненное, Гостехиздат, 1954, 455 стр. ; то же, изд. 3-е, стереотипное, Физматгиз, 1959; Д. О. Шклярский, Н. Н. Ч ен цов, И. М. Яг лом, Избран- Избранные задачи и теоремы элементарной математики (арифметика и алгеб- алгебра), изд. 4-е, исправленное, «Наука», 1965, 455 стр. ; 2) Д. О. . Шклярский, Н. Н. Ч е н ц о в, И. М. Я г л о м, Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. 2, Геомет- Геометрия (планиметрия), Гостехиздат, 1952,380 стр. ; Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранные задачи и теоремы планиметрии, изд. 2-е, переработанное и дополненное, «Наука», 1967, 336 стр. ; 3) Д. О. Ш к л я р с к и й, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии, ч. 3, Геомет- Геометрия (стереометрия), Гостехиздат, 1954, 267 стр.