Читать онлайн «Лекции по теории аппроксимации»
Автор Ахиезер Н.И.
Н. И. АХИЕЗЕР
ЛЕКЦИИ
ПО ТЕОРИИ
АППРОКСИМАЦИИ
ИЗДАНИЕ 2-Е,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965
517. 2
А 95
УДК 517. 5
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 7
Предисловие к первому изданию 8
ГЛАВА I
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
В ЛИНЕЙНОМ НОРМИРОВАННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
1. Постановка основной задачи теории аппроксимации 9
2. Метрическое пространство
3. Линейное нормированное пространство 10
4. Примеры линейных нормированных пространств 10
5. Неравенства Гельдера и Минковского 12
6. Дальнейшие примеры линейных нормированных
пространств 15
7. Пространство Гильберта 16
8. Основная теорема аппроксимации в линейном
нормированном пространстве 17
9. Строго нормированные пространства 19
10. Пример в пространстве L& 20
11. Геометрическая интерпретация 21
12. Понятие о сепарабельном и полном пространствах 22
13. Теоремы аппроксимации в пространстве Я ... . 23
14. Пример 28
15. Снова о проблеме аппроксимации в пространстве Н 30
16. Ортонормированные системы векторов в Я ... . 32
17. Ортогонализация системы векторов 33
18. Бесконечные ортонормированные системы ... . 34
19. Пример несепарабельного пространства 38
20. Первая теорема Вейерштрасса 39
21. Вторая теорема Вейерштрасса 41
22. Сепарабельность пространства С 42
23. Сепарабельность пространства Lp 43
24. Обобщение теоремы Вейерштрасса на пространство LP 46
25. Полнота пространства L. P 48
26. Примеры полных ортонормированных систем в L2 50
27. Теорема Мюнца 53
28. Линейный функционал 56
29. Теорема Ф. Рисса 57
30. Критерий замкнутости множества векторов в про-
«извальном, линейном нормированном пространстве 60
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА II
КРУГ ИДЕЙ П. Л.
ЧЕБЫШЕВА
31. Постановка вопроса 62
32. Обобщенная теорема Валле-Пуссена 63
33. Теорема существования 64
34. Теорема Чебышева 66
35. Случай аппроксимации многочленами 69
36. Полиномы Чебышева, наименее уклоняющиеся от
нуля 69
37. Дальнейший пример на теорему Чебышева ... . 70
38. Пример на применение теоремы Валле-Пуссена . 72
39. Пример на применение общей теоремы Чебышева 73
40. Переход к периодическим функциям 76
41. Пример 78.
42. Функция Вейерштрасса 78
43. Проблема Хаара 79
44. Доказательство теоремы Хаара 80
45. Пример 83
46. Обобщение теоремы Чебышева 85
47. Обобщение теоремы Чебышева на комплекснознач-
ные функции 88
48. Обобщение теоремы Хаара на комплекснозначные
функции 89
49. Об одном вопросе аппроксимации непрерывной
функции в метрике пространства L 91
50. Теорема А. Маркова 96
51. Частные случаи 99
ГЛАВА III
ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
52. Простейшие факты относительно рядов Фурье . . 104
53. Ряды Фурье функций ограниченной вариации . \ 108
54 Равенство Парсеваля для рядов Фурье 111
55. Примеры рядов Фурье ИЗ
56. Лемма Боаса 115
57. Тригонометрическое интерполирование 117
58. Тригонометрические интегралы 120
59. Пример 122
60. Теорема Римана — Лебега 124
61. Теория Планшереля 124
62. Теорема Ватсона 127
63. Теорема Планшереля 130
64. Примеры 133
65.
